Bajo qué condiciones una función racional se ha acotado derivados?

Question

Bajo qué condiciones una función racional se ha acotado derivados?

Esta pregunta surge para mí la hora de considerar el siguiente teorema:

Si $f \in C^1(I,\mathbb{R})$ donde $I$ es un intervalo, entonces:

$f$ es globalmente lipschitz $\ffi \existe L \ge 0.\forall t \en I.|f'(t)| \le L $

Así que toma la función racional $f(x) = \frac{p(x)}{q(x)}$ tenemos $f'(x) = \frac{p'(x)q(x)-p(x)q'(x)}{q(x)^2}$.

Mi punto de vista

Creo que debo asumir que $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, de modo que $\forall x \in \mathbb{R}.q'(x) \neq 0$ (sin embargo, esto no parece ser necesario). Y entonces, tal vez de una condición sobre el grado de garantías acotamiento...

Answer 1

Hay dos inmediata condiciones necesarias.

• El grado del numerador debe haber más de una unidad mayor que el grado del denominador; de lo contrario, la función no acotada derivado en el infinito.

• No hay asíntotas verticales; por lo tanto, $f$ no tiene no extraíble discontinuidades (es decir, que los ceros de la izquierda de $q$ se producen como ceros de $p$, con al menos la misma multiplicidad). De lo contrario, $f$ es ilimitado en cualquier ceros de $q$ y sin límites derivados.

Yo voy a dejar a usted para demostrar que estas dos condiciones son suficientes.

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Comentario: $f'$ es también una función racional, por lo que este es, básicamente, sólo preguntando cuándo una función racional es limitado en $\mathbb{R}$. Buscando en el plano complejo, que significa que cualquiera de los polos de $f$ tiene que producirse fuera del eje real, por lo que el denominador nunca se desvanece en $\mathbb{R}$. Además, $f'$ tiene que estar delimitado en el infinito lo que significa que no podemos tener un polo.

También, echar un vistazo a la de la serie de Laurent en cualquier polo; no se puede tener cualquier no-parte principal, mientras que siendo limitada en $\infty$.