Ya he comprobado que, si suponemos que f es bijective y g es bijective, a continuación, $(g \circ f)$ es bijective. También he comprobado que$(g \circ f)^{-1}$ existe. Estoy atascado en esta parte, sin embargo. Alguna sugerencia?
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DiGi
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1925
Simplemente siga las definiciones.
Supongamos que $\langle x,y\rangle\in(g\circ f)^{-1}$; claramente $\langle y,x\rangle\in g\circ f$, por tanto, por la definición de la composición debe haber alguna $z$ tal que $\langle y,z\rangle\in f$$\langle z,x\rangle\in g$. Pero, a continuación,$\langle z,y\rangle\in f^{-1}$$\langle x,z\rangle\in g^{-1}$, así que de nuevo por la definición de la composición tenemos $\langle x,y\rangle\in f^{-1}\circ g^{-1}$, y, por tanto,$(g\circ f)^{-1}\subseteq f^{-1}\circ g^{-1}$. El opuesto de inclusión se demuestra de forma similar: todos los pasos en el argumento son reversibles.
Alternativamente, si usted no está trabajando en este bajo un conjunto teórico nivel, al comprobar que
$$\left(f^{-1}\circ g^{-1}\right)\circ(g\circ f)$$ is the identity function on the domain of $f$, y
$$(g\circ f)\circ\left(f^{-1}\circ g^{-1}\right)$$ is the identity function on the range of $g$. Estos son triviales cálculos si usted sabe que la composición de funciones es asociativa.
stevemac
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991
El símbolo $(g \circ f)^{-1}$ lee: la función que, cuando se compone con $g \circ f$, da la identidad. Esta es una descripción única que lo caracteriza $(g \circ f)^{-1}$, por lo que sólo se necesita comprobar que el $f^{-1} \circ g^{-1}$ tiene esta propiedad.
También, no se olvide de comprobar composiciones en ambos lados!
DanV
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281
Recordemos que $(g\circ f)(a)=g(f(a))$. Tres muy útil declaraciones que voy a suponer que usted ha demostrado antes, en un momento u otro, son:
- La composición de funciones inyectiva es inyectiva.
- La composición de surjective funciones es surjective.
- Si $f$ es un bijection, a continuación, $f^{-1}$ es un bijection y $(f^{-1}\circ f)(a)=a$.
(Si no has visto ninguna de estas antes, por favor deje un comentario y voy a agregar algunas sugerencias acerca de cómo se prueban, pero es en realidad un ejercicio de corrección de las definiciones)
Por lo que suponía que $f\colon A\to B$ $g\colon B\to C$ son bijections, por $(1), (2)$ tenemos que $g\circ f$ es también un bijection, y por $(3)$ tenemos que $(g\circ f)^{-1}$ es un bijection así, y $f^{-1}\circ g^{-1}$ es también un bijection. Tenga en cuenta que $\operatorname{dom}\Big((g\circ f)^{-1}\Big)=\operatorname{dom}\Big(f^{-1}\circ g^{-1}\Big)=C$.
Para demostrar que dos funciones con el mismo dominio son iguales que solo tenemos que mostrar que podían hacer el mapa de cada elemento de la misma. Es decir, sólo tenemos que verificar que para cada $c\in C$ la siguiente igualdad se tiene: $$(g\circ f)^{-1}(c)=(f^{-1}\circ g^{-1})(c)$$
Deje $a$ denotar $(g\circ f)^{-1}(c)$, entonces sabemos que $g(f(a))=c$. También sabemos que $(f^{-1}\circ g^{-1})(c)=f^{-1}(g^{-1}(c))$. Pero $g$ es un bijection por lo tanto $g^{-1}(c)=f(a)$ a partir de dos de las cosas que conocemos. Pero $f$ es un bijection y por $(3)$ tenemos que $f^{-1}(f(a))=a$, por lo que finalmente tenemos: $$(f^{-1}\circ g^{-1})(c)=f^{-1}(g^{-1}(c))=f^{-1}(f(a))=a=(g\circ f)^{-1}(c)$$
Y que lo que queríamos demostrar.
