El tratamiento de la $\frac{n}{0}$ como una constante?

Question

Es allí cualquier manera de tratar a $\frac{1}{0}$ sin romper las matemáticas? He probado sólo la variable $\lambda$, pensando que sería fácil de manipular: $$\frac{2}{0} = 2\cdot\frac{1}{0} = 2\lambda$$ Pero pronto me di cuenta de que no se podía dividir cualquier número por ella porque $$\frac{2}{\lambda} = \frac{2}{0}^{-1}=\frac{0}{2}=0, \text{ implying that } 2=0\lambda, \text{ or 0.}$$

¿Hay algún sistema o forma de hacer este trabajo sin la destrucción de las matemáticas y todo lo que representa?

Answer 1

Cualquier regla que usted puede subir con que tiene que dividir por $0$ eventualmente conducir a una contradicción. Ya que no hay satisfactoria definición, tenemos que decir que la operación no está definida.

De lo mejor que puede hacer.

Si usted tiene una función como $y=\frac{x^2-1}{x-1}$ usted puede hablar sobre el comportamiento de la función en el barrio de $x=1$

Al $x = 1$ que está dividiendo por cero y la función no definida.

Pero si nos fijamos en los valores de $x$ muy cerca de $1,$ verá que cuanto más cerca de $x$ llega a $1,$ más cerca de $y$ llega a $2$

Al $x$ se encuentra en el barrio de $1, y$ se encuentra en el barrio de $2.$

Answer 2

Buen intento, principalmente me refería a buen intento de refutar a ti mismo, porque al probar las aguas, la capacidad para demostrar/refutar algo que se basa en cómo se decidió a definir las cosas es una gran manera de determinar si sus definiciones ningún sentido matemáticamente.

Sin embargo, en lugar de dividir por cero, que pasa a ser imposible, un problema mejor sería dividir por algo pequeño. Tan pequeño que es casi $0$, pero todavía no muy cerca. Por falta de un mejor término, vamos a llamar a este mágico casi $0$ el número de $\epsilon$. Lo curioso es que podemos dividir por $\epsilon$, especialmente si lo que estamos dividiendo por casi es $0$.

Quiero ver la siguiente función:

$$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$$

En particular, quiero estudiar en $x=1$, aunque esto resulta en la división por $0$. Así que en lugar, el estudio de la función en $x=1+\epsilon$$x=1-\epsilon$.

$$\begin{array}{c|c|c}\epsilon&f(1+\epsilon)&f(1-\epsilon)\\\hline1&3&1\\0.1&2.1&1.9\\0.01&2.01&1.99\\0.001&2.001&1.999\\\vdots&\vdots&\vdots\\\epsilon&2.000\dots&1.999\dots\end{array}$$

Así que supongo que estamos de acuerdo en que tiene más sentido que el $f(1\pm\epsilon)=2!$ Esta... idea. Es conocido como un límite, y por lo general sólo funciona cuando tenemos:

$$f(x)=\frac00$$

En el caso de que tengamos $\frac10$, los números se obtiene infinitamente grande. Intente $f(x)=\frac1x$ $x=0$ por ejemplo.

Una buena nota es que debemos evitar cualquier tipo de problemas con esta idea de la división por cero, ya no estamos en realidad el uso de $0$. Sólo estamos utilizando cantidades muy pequeñas, donde todos los servicios básicos de matemáticas aún se mantiene. De esta manera, podemos construir extraño pruebas de $2=0$.

Answer 3

Incluso en forma simbólica, no hay manera de incluir la división por cero $\frac{1}{0}$ en los reales, los números complejos, o cualquier (no-cero) anillo que no produce una contradicción, dado que el otro anillo de axiomas. Es cierto que en un anillo que $0 \cdot a = a \cdot 0 = 0$ todos los $a \in R$, pero aparentemente $0 \cdot \lambda = 1$, por lo tanto $1 = 0$.

Answer 4

Yo diría que no. Por nuestro habitual de los convenios, la división por cero no está definido (y peor aún, nada parecido a $\frac{0}{0}$ se llama de una forma indeterminada.

Buen intento, aunque, es bueno experimentar. Usted sería romper las reglas establecidas en la estructura algebraica si usted intenta esto.