Dado que el $F/K$ es finito, la extensión de los campos y la extensión no es separable.
Mi pregunta es si siempre podemos encontrar un subcampo $L$ tal que $K\subset L \subset F$ $[F:L]=p$ donde $p=char(K)$.
Respuesta
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Estás buscando un subcampo $L$ que tendrás $[F:L]=p$. En primer lugar tomamos la máxima extensión separable $K^{\text{sep}}$$K$$F$, por lo que el $F\supset K^{\text{sep}}$ es totalmente inseparables, y de grado finito $p^n$. Así que vamos a ir a por un argumento inductivo, suponiendo que $p^m$ es el más pequeño grado adecuado de un subcampo $F$$K^{\text{sep}}\subset F\subset L$$[L:F]=p^m$. Queremos $m=1$.
Así que supongamos que $[L:F]=p^m$, y tomará las $a\in L$ que no se encuentra en $F$. Su mínimo $F$-polinomio se $X^{p^k}-b$ algunos $k\le m$ y algunos $b\in F$. Si $F(a)$ es un buen subcampo de $L$, luego tenemos a $[L:F(a)]<[L:F]=p^m$, contradiciendo minimality de $m$. Así que podemos tomar $F(a)=L$. Si $k=1$ hemos terminado, pero en cualquier caso, $F(a^p)$ es un buen subcampo de $L$, porque si en realidad había una $F(a^p)=L$, también deberíamos $F(a^{p^i})=L$ todos los $i$, y que no es el caso de $i=k$. Por lo tanto, adoptamos $F(a^p)$ para el deseado de subcampo.
