$n$-ésima raíz de $3 \times 3$ invertible la matriz

Question

Yo, yo no podía resolver este ejercicio después de pensar un rato.

Para cada $A \in GL_{3} (\mathbb{C})$$n$, hay un $B \in Mat_{3, 3}(\mathbb{C})$ tal que $B^n = A$

El ejercicio anterior fue que por cada nilpotent $N \in Mat_{3, 3} (\mathbb{C})$ y cada $n$, $C = 1 + \frac{1}{n}N + \frac{1-n}{2n^2}N^2$ satisface $C^n = 1 + N$, por lo que supongo que hay un truco con este resultado.

He intentado jugar un poco con la división de de $A$ como nilpotent además de un semisimple, sin embargo yo no podía conseguir nada útil.

Gracias de antemano.

Answer 1

Si usted escribe $A = D + N$ semisimple + nilpotent (donde $D$ $N$ conmutar), a continuación, $D$ es invertible y $$A = D(I + D^{-1}N),$$ donde $D^{-1}N$ es nilpotent (debido a $D$ $N$ conmutan). Ahora $D$ $n$th raíz (porque estamos en $\mathbb{C}$, por lo que es diagonalizable), y así no $I + D^{-1}N$ en el ejercicio anterior. El producto de estos dos $n$th raíces se desee $B$ (debido a que conmutan).

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De manera más general, para matrices de cualquier tamaño, usted puede poner el $B = \exp(\tfrac1n \log A)$. Aquí, $\exp$ está definido por la forma habitual de alimentación de la serie, y $\log A$ es cualquier matriz tal que $\exp(\log A) = A$. Si $A$ es invertible, entonces existe. De hecho, con $A = D(I + D^{-1}N)$ como es arriba, a continuación, $\log D$ existe (claro que podemos tomar el logaritmo de cualquier invertible diagonal de la matriz), y para el otro factor que puede usar el poder de la serie $$\log (I+X) = \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1}}{k} X^k$$ para $X = D^{-1}N$. El poder de la serie converge siempre que el radio espectral de $X$$< 1$; en particular, converge (después de un número finito de términos) al $X$ es nilpotent. Entonces $$\log A = \log D + \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1}}{k} (D^{-1}N)^k.$$ Vale la pena mostrar que el $C$ desde el ejercicio anterior es sólo $C = \exp(\tfrac1n \log(I+N))$.

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En realidad, es incluso más fácil derivar $C$ usando el binomio de la serie $$ (I+X)^\alpha = \sum_{k=0}^\infty \binom{\alpha}{k} X^k. $$

Answer 2

Dada su $A$, escribir su Jordan en la forma. Porque aquí las matrices se $3\times 3$, no hay mucho margen para que las cosas sucedan:

1) Si $A$ tiene tres diferentes valores propios, a continuación, $A=SJS^{-1}$ $J$ diagonal. Ahora elija una matriz diagonal $X$ tal thath $X_{jj}^2=J_{jj}$. A continuación, $SXS^{-1}$ es es una raíz cuadrada de $A$.

2) Si $A$ tiene un repetidas autovalor, su Jordan en la forma todavía puede ser diagonal, y 1) se aplica.

3) Si $A$ $2\times2$ Jordania bloque, $J$, $J=\lambda I_2+N$ $N$ nilpotent. Por el ejercicio que usted cita, $I+N$ tiene una raíz cuadrada $C$, y así por el escalado de manera apropiada puede obtener una raíz cuadrada de $J$.

4) Si $A=SJS^{-1}$ $J$ $3\times 3$ Jordania bloque, a continuación, $J=\lambda I+N$ como en 3), y podemos obtener una raíz cuadrada con la misma idea.

El hecho de que $A$ es invertible, que se utiliza para garantizar que todos los autovalores son distintos de cero.

Answer 3

Si $A$ es diagonalizable, $A$ = $M^{-1}$.$D$.$M$, a continuación, $D$ tiene, obviamente, un cubo de la raíz -$D_{1/3}$, y $A$ = [$M^{-1}$.$D_{1/3}$.$M$$]^3$. Ayuda?