Axioma de elección prueba

Question

Por el teorema de, "sea a y B conjuntos y deje $f : A \rightarrow B$ ser una función. A continuación, $f : A \rightarrow B$ es $surjective$ $iff$ existe una función de $g : B \rightarrow A$ tal que $f \circ g = I_B$. "

El teorema implica el Axioma de elección.

He demostrado la declaración, pero quiero saber si mi prueba es correcto o no.

Prueba)

Supongamos que el teorema. Sea a un conjunto y $Q_R$=$\text{{(R,r)|$r\in R$}}$ todos los $R\in \mathscr P'(A)$ . Deje $Q = \cup_{R\in\mathscr P'(A)} Q_R$.

Deje $f: Q \rightarrow \mathscr P'(A)$ donde $(R,r) \mapsto R$. A continuación, $\exists (R,r)\in Q$$\forall R \in \mathscr P'(A)$. Por lo $f$ es surjective. Por el teorema de, $\exists g: \mathscr P'(A) \rightarrow Q $ tal que $f \circ g = I_B$. A continuación, $g(R) = (R,r)$ algunos $ r\in R$.

Por lo tanto, vamos a $\gamma : \mathscr P'(A) \rightarrow A$ tal que $\gamma(R) = r$ donde $\gamma(R) \in R$ todos los $R \in \mathscr P'(A).$ Por lo tanto, el Axioma de elección se mantiene.

Answer 1

La prueba es sobre todo bien. Tenga en cuenta que puede definir $Q$ más claramente como $$\{(R,r)\mid r\in R\subseteq A\},$$ or if you prefer a more explicit statement, $$\{(R,r)\mid R\subseteq A\text{ and }r\in R\}.$$

En la última línea, sin embargo, se desordenó un poco. Sólo afirmó que una función de elección $\gamma$ existe. Esto requiere la prueba, todo lo que sé es que hay una función de $g$ que es la inversa de a $f$. Usted necesita utilizar para definir $\gamma$. En este caso, $\gamma(R)=r$ si y sólo si $g(R)=(R,r)$.

Ahora necesita argumentar que $\gamma$ es una función de elección, de hecho, que no es difícil de la manera en que elegimos $f$, y lo que sabemos acerca de la $g$.