Ejercicio sobre la desigualdad (olimpiada)

Question

Para los positivos $a$ , $b$ , $c$ tal que $abc=1$ . Demostrar que $$(ab+bc+ca)(a+b+c)+6\geq 5(a+b+c).$$

Desde el LHS, usando AM-GM, vemos que $(ab+bc+ca)(a+b+c)+6\geq 3(abc)^{2/3}3(abc)^{1/3}+6=15$ . Pero claramente, 15 puede ser menos que $5(a+b+c)$ . Así que esta técnica no funcionará. No veo otras desigualdades para demostrar esto. ¿Alguna otra idea o sugerencia? Gracias

Answer 1

Lema: para cualquier positivo $x,y,z>0$ y $xyz=1$ tenemos $$(xy+yz+xz)^2+3\ge 4xyz(x+y+z)$$ prueba:ya que Utilizando la desigualdad de Schur tenemos $$a^3+b^3+c^3+3abc\ge ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)\ge 2((ab)^{3/2}+(bc)^{3/2}+(ac)^{3/2})$$ tomar $a'^2=a^3,b'^2=b^3,c'^2=c^3$ y Assmue que $a'b'c'=1$ por lo que tenemos $$a'^2+b'^2+c'^2+3\ge 2(a'b'+b'c'+c'a'),$$ así que $$(a'+b'+c')^2+3\ge 4(a'b'+b'c'+c'a')$$ Dejemos que $a'=xy,b'=yz,c'=zx$ por hecho.

dejar $a+b+c=p,ab+bc+ac=q,abc=r=1$ su desigualdad es igual a $$pq+6\ge 5p$$ Utilizando el lema tenemos $$q^2+3\ge 4p$$ $$\Longleftrightarrow p\sqrt{4p-3}+6\ge 5p,p\ge 3$$ Está claro, porque $$p^2(4p-3)-(5p-6)^2=4(p-3)^2(p-1)\ge 0$$

Answer 2

Dejemos que $a+b+c=3u$ , $ab+ac+bc=3v^2$ y $abc=w^3$ .

Por lo tanto, nuestra desigualdad es una desigualdad lineal de $u$ que dice que es suficiente para probar nuestra desigualdad

para un valor extremo de $u$ , lo que ocurre para el caso de igualdad de dos variables.

Dejemos que $b=a$ .

Así, $z=\frac{1}{a^2}$ y tenemos que demostrar que $$(a-1)^2(2a^4+4a^3-4a^2-a+2)\geq0,$$ lo cual es obvio.

¡Hecho!