La extracción de vector que contiene los elementos de la diagonal principal de una matriz

Question

Es allí cualquier operación matemática que extraer los elementos de la diagonal principal como un vector? es decir, se multiplica por ciertos vectores o algo por el estilo. Estoy usando esto en el contexto de sistemas lineales.

En el caso concreto estoy buscando en la que tengo una relación entre los elementos de los tres vectores de la siguiente manera:

$ \bf{a} = \begin{bmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \\ a_{4} \end{bmatrix} $ , $ \bf{b} = \begin{bmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \\ b_{4} \end{bmatrix} $ , y $ \bf{c} = \begin{bmatrix} c_{1} \\ c_{2} \\ c_{3} \\ c_{4} \end{bmatrix} $

Sé también que: $c_{i} = a_{i}b_{i} $ $i \in [1, 4]$

Ahora quiero expresar esta relación como una ecuación vectorial. Entiendo que $\bf{a} \bf{b}^\top$ daría una matriz cuadrada con los elementos de la $\bf{c}$ en su diagonal principal, pero es de todos modos hay que extraer de ellos como un vector?

EDIT: permítanme aclarar un poco. Si multiplico $\bf{a}$ $\bf{b}^\top$ tengo la siguiente matriz:

$\bf{a} \bf{b}^\top = \begin{bmatrix} \bf{a_1b_1} && a_1b_2 && a_1b_3 && a_1b_4 \\ a_2b_1 && \bf{a_2b_2} && a_2b_3 && a_2b_4 \\ a_3b_1 && a_3b_2 && \bf{a_3b_3} && a_3b_4 \\ a_4b_1 && a_4b_2 && a_4b_3 && \bf{a_4b_4} \end{bmatrix} $

Los elementos que se han realizado en negrita son los que yo estoy interesado en la extracción como un vector. Este vector sería $\bf{c}$.

Si me multiplicar esta por todos aquellos vectores, como algunas de las respuestas que han sugerido, que me gustaría conseguir:

$\bf{a} \bf{b}^\top \bf{1}= \begin{bmatrix} \bf{a_1b_1} && a_1b_2 && a_1b_3 && a_1b_4 \\ a_2b_1 && \bf{a_2b_2} && a_2b_3 && a_2b_4 \\ a_3b_1 && a_3b_2 && \bf{a_3b_3} && a_3b_4 \\ a_4b_1 && a_4b_2 && a_4b_3 && \bf{a_4b_4} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_1b_1 + a_1b_2 + a_1b_3 + a_1b_4 \\ a_2b_1 + a_2b_2 + a_2b_3 + a_2b_4 \\ a_3b_1 + a_3b_2 + a_3b_3 + a_3b_4 \\ a_4b_1 + a_4b_2 + a_4b_3 + a_4b_4 \end{bmatrix}$

Que no es el vector que estoy buscando (no es igual a $\bf{c}$).

EDIT 2: Multiplicando por la $\bf{1}$ vector sería, obviamente, el trabajo si todo fuera de la diagonal de elementos se vuelven cero. Así que si alguien sabe de una forma de hacer eso sin necesidad de modificar los elementos de la diagonal principal, que también responde a mi pregunta.

EDIT 3: La otra pregunta se señaló en el área de comentarios es esencialmente el mismo, y he recibido respuestas similares, pero tenía la esperanza para una solución más simple. No he marcado como duplicar para permitir a la gente a contribuir en el futuro.

Yo estaba esperando una solución que sea lineal en $\bf{b}$ que me la pueda sustituir en lugar de $\bf{c}$ en la ecuación estoy tratando de resolver. En ese caso $\bf{b}$ sería mi único desconocido y me gustaría ser capaz de obtener una solución algebraica.

Answer 1

Su perfil sugiere que haga esta pregunta desde una computadora en la perspectiva de la ciencia. Si ese es el caso, tal vez no es la pregunta correcta.

Es fácil calcular el vector que desea directamente multiplicando correspondientes coordenadas, sólo la forma de calcular la suma de dos vectores mediante la adición de coordenadas. Algunos lenguajes de programación incluso implementar esta operación como una primitiva. No creo que hay una buena manera de expresar que el uso común de la matriz de operaciones - pero, ¿usted realmente necesita?

Matemáticamente, su operación es la multiplicación en el producto directo de $n=4$ copias de los números reales - ver https://en.wikipedia.org/wiki/Product_of_rings .

Answer 2

Bueno, no es bonito, pero esto va a hacer es:

$$\sum_{i=1}^4\mathbf a^T\mathbf e_i\mathbf b^T\mathbf e_i\mathbf e_i$$ where the $\mathbf e_i$ are the standard basis vectors. Each term of the sum extracts the $i$th components of $\mathbf un$ and $\mathbf v$ and multiplies them together. You can also think of it as multiplying the projection of $\mathbf b$ onto $\mathbf e_i$ by $a_i$ o vice-versa.

Answer 3

Usted puede extraer los elementos de la diagonal principal de la matriz como un vector por la multiplicación de su matriz diagonal $D$ por el vector $v$ tener $1$ en cada una de sus entradas. Si $D=diag(d_{1},...,d_{n})$$v=(1,...,1)^{t}$, luego $$ Dv = (d_{1},...,d_{n})^{t}. $$

Answer 4

[Voy a agregar una segunda respuesta, de modo que esta opción no está sólo enterrados en los comentarios. Rodrigo de Azevedo se sugiere que la primera.]

Una posibilidad es utilizar la Hadamard (de las componentes) producto $a\circ b$. Esta es la opción más sencilla por el momento, y cumple con el requisito de que sea lineal en $b$ a de arranque. Sin ver más de su ecuación, sin embargo, es imposible decir si es o no jugar muy bien con el resto de los cálculos.