Qué $(x_n)$ Cauchy en $\ell^1$ implica $(\|x_n\|_1)$ es de Cauchy en $\mathbb F$

Question

Definir $\ell^1=\{x\colon\mathbb N\to\mathbb F: \|x\|_1~\mbox{is finite}\}$ donde $\mathbb F$ es $\mathbb R$ o $\mathbb C$. Si $(x_n)$ es una secuencia de Cauchy en $\ell^1$, ¿eso quiere decir que $(\|x_n\|)$ es de Cauchy en $\mathbb F?$

Answer 1

Sugerencias:

• Deje $u:E\to F$ ser Lipschitz entre dos espacios métricos $E$$F$. Entonces, si la secuencia de $(x_n)_{n\in\mathbb N}$ es de Cauchy en $E$, la secuencia de $(u(x_n))_{n\in\mathbb N}$ es de Cauchy en $F$.
• Para cualquier norma $\|\ \|$ en cualquier espacio vectorial $E$, el mapa $u:E\to\mathbb R$, $x\mapsto\|x\|$, es $1$-Lipschitz.
• A la conclusión de que la respuesta a tu pregunta es sí.

Answer 2

Tenemos por la desigualdad triangular,$$\lVert x_n\rVert\leq \lVert x_n-x_m\rVert+\lVert x_m\rVert$$ y de conmutación $m$ $n$ tenemos $$|\lVert x_n\rVert-\lVert x_m\rVert|\leq \lVert x_n-x_m\rVert.$$ Ahora, podemos deducir que $\{\lVert x_n\rVert\}$ es de Cauchy: por un determinado $\varepsilon>0$, vamos a $N$ tal que $\lVert x_n-x_m\rVert\leq \varepsilon$ siempre $m,n\geq N$. A continuación, $|\lVert x_n\rVert-\lVert x_m\rVert|\leq \varepsilon$ siempre $m,n\geq N$.

Tenga en cuenta que es cierto, en cualquier normativa del espacio, no sólo en $\ell^1$.