Demuestre que existe una función monótona no decreciente $f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ discontinuo en los racionales

Question

Demuestre que existe una función monótona no decreciente $f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ discontinua en racionales de $[0,1]$

• He intentado probar funciones del tipo $$ f(x)=\begin{cases} \frac{1}{q} & \text{if } x=\frac{p}{q} \mid p,q \in \mathbb{Z}^+ \,\,\, \text{and} \,\,\, \gcd(p,q)=1 \\ x & \text{if } x \not\in \mathbb{Q} \end{cases}$$ que es discontinua en todos los racionales, pero no es monótona.

Answer 1

Desde $\mathbb{Q}\cap[0,1]$ es contablemente infinito, entonces hay una biyección: $$\phi:\mathbb{N}\to\mathbb{Q}\cap[0,1]$$

Ahora defina $$f:[0,1]\to\mathbb{R},\quad f(x)=\sum_{\phi(n)\leq x}2^{-n}$$

Como la serie geométrica es absolutamente convergente, el reordenamiento de los términos no cambia la suma, por lo que $f$ está bien definida. Claramente $f$ es no decreciente, y $$\lim_{x\to \phi(n)^-}f(x)=\sum_{\phi(k)<\phi(n)}2^{-n}<f(\phi(n))$$