Encontrar la imagen de la unidad de disco en $f(z)= \frac{1}{z}\prod_{k=1}^{n}(z-a_k)^{\lambda_k}$

Question

Encontrar la imagen de $f$ definido en $|z|<1$ complejo de la unidad de disco, dada por $$f(z)= \frac{1}{z}\prod_{k=1}^{n}(z-a_k)^{\lambda_k}$$where $|a_k|=1$, $0<\lambda_k<1$, $\sum_{k=1}^n\lambda_k=2$.

La primera cosa que vino a mi mente es Schwarz-Christoffel integral $$S(z)=\int_0^z\frac{1}{\prod_{i=1}^n(\zeta-A_i)^{\beta_i}}d\zeta$$ which maps the real line onto a polygon. The image of $\infty$ under $S$ is not one of the vertices if $\sum_{k=1}^n\beta_k=2$.

No estoy seguro de cómo se relacionan el de Schwarz-Christoffel integral a la $f$. Cualquier sugerencia es appreiciated.

Answer 1

Fácil observaciones en primer lugar:

• La imagen es ilimitado, ya que $0$$\infty$.
• Los puntos de $a_1, \dots, a_n$ se asignan a $0$, por lo que la imagen de la curva de límite vuelve a golpear $0$ más y más
• Cada uno de esos regresar a $0$ hace que el ángulo de $\pi \lambda_k$ con vértice $0$. La suma de estos ángulos es $2\pi$.

Tratando de imaginar esto conduce a una conjetura: la imagen es el complemento de la "estrella sin interior", es decir, la unión de $n$ de los segmentos de línea que se unió a $0$.

Para demostrar que la conjetura es correcta, no es suficiente para demostrar que $\arg f(z)$ permanece constante en cada arco entre los puntos de $a_k$. Las ramas pueden merecer discusión en otros lugares, pero aquí lo que importa es que nos tomamos algunas continua de la rama de $\arg f$ sobre dicho arco, y mostrar que es constante.

Como un calentamiento, compruebe que $$ \arg (1+z) = \frac12 \arg z $$ para cada $z$ sobre el círculo unidad. De hecho, el triángulo $-1, 0, z$ es isósceles, que implica su ángulo en el $-1$ es $\frac12(\pi - (\text{angle at $0$}))$, que fue de la reclamación.

Así, la tasa de cambio de $\arg(1+z)$ es la mitad de la tasa de cambio de $\arg z$. Pero esto se aplica igualmente bien a $\arg(z-a)$ por cada unimodular $a$, ya que la rotación de los cambios de imagen de los argumentos presentados por una cantidad constante. De ello se sigue que la suma $$ -\arg z + \sum_{k=1}^{n} \lambda_k \arg(z-a_k) $$ tiene cero de la tasa de cambio, gracias a la condición de $\sum \lambda_k = 2$. Y este fue $\arg f(z)$.