Lang pregrado de álgebra sobre la teoría de Galois

Question

No puedo resolver este problema. Por favor me ayude .

Deje $F$ ser un campo de característica $0$ , contenida en su clausura algebraica $A$. Deje $a∈A$ y supongamos $a∉F$, pero cada extensión finita $E$ $F$ $E\neq F$ contiene $a$. En otras palabras, $F$ es la máxima subcampo de $A$ que no contengan $a$. Probar que cada finito extensión de $F$ es cíclico.

Traté de resolverlo, como el de abajo. Deje $f(x)$ ser un polinomio mínimo de a$a$$F$. Deje $deg(f)=n$. Deje $E/F$ ser finito $m$ dimensión tal que $(m,n)=1$. Debido a $E/F$ es de dimensión finita, $a∈E$. Por lo $F⊂F(a)⊂E$. Porque $(m,n)=1$, $F=F(a)$ por lo $a∈F$. Contradicen a $a∉F$.

1. Había una contradicción. Lo que está mal? Qué significa ninguna extensión finita de $F$ tal que $(m,n)=1$? si es así

Supongo que cualquier finito extensión de $F$ no $(m,n)=1$. Deje $σ$ ser Automorphism de $F(a)/F$. a continuación, $σ(a)$ ser una raíz de $f(x)$. A continuación, $F(σ(a))$ es finito extensión de $F$$F(σ(a))⊂A$.Por eso,$a∈F(σ(a))$.Por eso,$F(a)⊂F(σ(a))$. Debido a $[F(a):F]=deg(f)=n$. Por eso ,$F(a)=F(σ(a))$. Por lo $F(a)$ es área mínima de $f(x)$. Debido a $F$ es un campo de característica $0$, $F(a)$ es separable sobre $F$. Por lo $F(a)/F$ es una extensión de Galois. Si n no es primo , existen nutural número $r$ tal que $1<r<n, r|n$. Vamos a G grupo de Galois de $F(a)/F$. Vamos a ser H un subgrupo de $G$ con el fin de $r$. Sea K arreglar campo de $H$$F$. A continuación, $a∉K$ $K/F$ es finito extensión. Así contradicción .Lo que n necesita ser un número primo. Debido a la n es el primer número, el grupo de Galois de $F(a)/F$ es cíclico.

Después de eso lo que debo hacer.

Traté de resolver de nuevo.

Deje $N$ ser un grupo de Galois de $E/F(a)$. Desde el fin de la $G/H$$p$, $g∈G$ tal que $g∉H$. $g$ genera un grupo cíclico $<g>$. Deje $K$ ser la revisión de campo de $<g>$, $E/K$ es de dimensin finita, por lo $E/F$ es de dimensin finita . Si no $K=F$,$F(a)⊂K$. Por eso, $g∈H$. Contradicción. Por lo tanto, $K=F$. Por lo $G=<g>$. Por lo tanto $E/F$ es cíclico. Q. E. D.

Yo podría solucionarlo. Es correcto?

Answer 1

Deje $L/F$ ser finito y Galois, $G$ ser su grupo de Galois.

En primer lugar demostrar que para cualesquiera dos adecuada subgrupos $H_1,H_2$$G$, el unirse a $\langle H_1,H_2 \rangle$ es todavía adecuada. Deje $K_i = L^{H_i}$, los campos fijos de $H_i$. A continuación,$K_1 \cap K_2 = L^{\langle H_1,H_2 \rangle}$, por supuesto, $K_1 \cap K_2 \neq F$, por lo tanto $\langle H_1,H_2 \rangle$ es adecuado.

Ahora, vamos a $|G|=p_1^{r_1}\cdots p_m^{r_m}$. Si $m>1$, entonces podemos seleccionar subgrupos $H_i$ con el fin de $p_i^{r_i}$. Los subgrupos generados por la correcta subgrupos $H_i$$G$, contradicción. Por lo tanto $|G|$ es una fuente primaria de energía.

Ahora vamos a $H$ ser el subgrupo generado por toda la adecuada subgrupos de $G$, por encima de, $H$ es todavía adecuada, y contiene toda la adecuada subgrupos. Elija $g\notin H$, $\langle g \rangle$ debe ser el de todo el grupo $G$, lo $G$ es cíclico.

---

Deje $K/F$ ser finito extensión, $N$ ser su cierre de Galois, luego por arriba, $N/F$ es cíclica, por lo tanto $K/F$ también es de Galois y cíclico.