Prueba $1+\cos a + \cos 2 a+ \cdots + \cos(n-1)a = 0$ cuando $a=2\pi/n$ y $n$ es impar

Question

Estoy tratando de demostrarlo: $1+\cos a+\cos 2a+\cos3a+\cos4a=0$ donde $a=\frac{2\pi}5$ (disposición en pentágono).

En realidad, esto es válido para cualquier $n>1$ : $1+\cos a+\cos2a+\dots+\cos(n-1)a=0$ (polígono) donde $a={2 \pi\over n}$ .

Fácil de mostrar para incluso $n$ desde el $\cos$ se anulan 2 a la vez pero de no ser por impar $n$ (digamos 5)? Esto viene del hecho de que si usted tiene $n$ los mismos objetos por igual en el espacio alrededor de un círculo unitario, el centro de gravedad tiene que estar en el origen, por lo que la suma de los senos es igual a cero (fácil) y la suma del coseno también, no tan fácil para impar $n$ .

Answer 1

Si estás familiarizado con los números complejos:

\begin{align} \sum_{k=0}^{n-1} \cos\left( \frac{2k\pi}n\right)&= \Re \left(\sum_{k=0}^{n-1} \exp\left( \frac{2ik\pi}n\right)\right) \\ &=\Re\left(\frac{1-\exp\left(\frac{2in\pi}{n} \right)}{1-\exp\left(\frac{2i\pi}{n} \right)} \right)\\ &=\Re\left(\frac{1-\exp\left(2i\pi \right)}{1-\exp\left(\frac{2i\pi}{n} \right)} \right)\\ &=0 \end{align}

desde $\exp(2\pi i)=1$ .

Answer 2

Aquí demostraré la identidad general. Nótese que $e^{2\pi i/n}=e^{ia}$ es una raíz de $x^n-1=(x-1)(x^n+x^{n-1}+\dots+1)=0$ . Desde $e^{ia}\ne1$ tenemos $$\sum_{k=0}^{n-1}e^{kia}=0$$ Utilizando la identidad de Euler $e^{ix}=\cos x+i\sin x$ para extraer la parte real de esta ecuación da el resultado deseado: $$\sum_{k=0}^{n-1}\cos ka=0$$

Answer 3

Si quieres probar usando vectores , entonces,

Dejemos que $\overrightarrow { v_{n}}$ sea un vector que represente el $n^{th}$ lado de un $n$ polígono de lados,

De nuevo $\overrightarrow {v_{n}}$ puede escribirse como $a_{n} \widehat{i} + b_{n} \widehat {j}$

Ahora por la ley del polígono de adición de vectores , obtenemos,

$\sum_{0}^{n} \overrightarrow {v_{n}} =0$

Por lo tanto, $\sum_{0}^{n} a_{n} \widehat{i} + b_{n} \widehat{j} =0$

Por lo tanto, $\sum_{0}^{n} a_{n} =0$

$a_{n} =\mid \overrightarrow {v_{n}}\mid \cdot \cos \alpha_{n}$ , donde $\alpha_{n}$ es el ángulo formado por el $n^{th}$ lado del polígono con el $x$ -eje.

$\therefore \sum_{0}^{n} \cos \alpha_{n} =0$

Answer 4

A partir de las fórmulas de suma y diferencia de ángulos $$2\sin\frac12a\cos na=\sin\left(n+\frac12\right)a-\sin\left(n-\frac12\right)a$$ Entonces $$\begin{align}2\sin\frac12a\sum_{k=0}^{n-1}\cos ka&=\sum_{k=0}^{n-1}\left[\sin\left(k+\frac12\right)a-\sin\left(k-\frac12\right)a\right]\\ &=\sin\left(n-\frac12\right)a+\sin\frac12a\end{align}$$ En este caso $a=\frac{2\pi}n$ así que $$\sin\left(n-\frac12\right)a=\sin\left(2\pi-\frac12a\right)=-\sin\frac12a\ne0$$ Así que $$\sum_{k=0}^{n-1}\cos ka=0$$

Answer 5

Se desprende de la simetría radial de las fuerzas físicas que actúan sobre una partícula mediante el posicionamiento extremo a extremo y la suma de vectores que forman un pentágono/polígono regular cerrado. También puede resultar más general o natural si reflexionamos un poco sobre cómo surgieron las definiciones de las razones trigonométricas.

Se mantiene incluso si el ángulo de inicio del primer vector a $x$ es distinto de cero.

Si $n$ fuerzas cada una de magnitud $F$ actúan sobre un punto comienzan primero desde $x-$ eje entonces por la estática fuerza proyecciones de equilibrio

En $x$ eje

$$ F( 1+\cos a+\cos2a+\dots+\cos(n-1)a ) =0 $$

En $y$ eje

$$ F( 0+\sin a+\sin 2a+\dots+\sin(n-1)a ) =0. $$