Relación entre el espacio de probabilidad incontablemente infinito y las variables aleatorias continuas

Question

Tengo una duda sobre cómo relacionar el espacio de probabilidad incontablemente infinito y las variables aleatorias continuas.

Tome el siguiente experimento aleatorio "elija un número entre $[0,1]$ ".

Construyo el espacio de probabilidad asociado.

• el espacio muestral $\Omega\equiv[0,1]$

• el $\sigma$ -igual a la de Borel $\sigma$ -en $[0,1]$ , $\mathcal{B}([0,1])$

• la medida $\mathbb{P}:\mathcal{B}([0,1])\rightarrow [0,1]$ (esto no es necesariamente igual a la medida de Lebesgue; puede haber algunos números "más atractivos" que otros; además, no puede ser el cociente de medidas de recuento porque $\Omega$ es incontablemente infinito)

Consideremos ahora la variable aleatoria $$ X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} $$

( $\star$ ) Supongo que esta variable aleatoria es continua

( $\star \star$ ) (EDITED following a useful comment below) Supongo que esta variable aleatoria tiene CDF continua en $\mathbb{R}$ y estrictamente monótona.

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Es evidente que ( $\star \star$ ) $\rightarrow$ ( $\star$ ).

Quiero entender las diferentes implicaciones de estos dos supuestos en $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ . Con este objetivo en mente, he dividido mi pregunta en 4 subpreguntas.

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1) ¿Podría ayudarme a entender formalmente la relación entre $(\star)$ y $\Omega$ ¿Arriba? ¿Es $\Omega$ incontablemente infinito a necesario condición para $X$ siendo una variable aleatoria continua?

2) ¿Podría ayudarme a comprender formalmente la relación entre $(\star)$ y $\mathbb{P}$ ¿Arriba?

3) ¿Podría ayudarme a entender formalmente la relación entre $(\star \star)$ y $\Omega$ ¿Arriba? Creo que todo lo que importa aquí debe ser thorugh condición ( $\star$ ), ¿correcto?

4) ¿Podría ayudarme a comprender formalmente la relación entre $(\star \star)$ y $\mathbb{P}$ ¿Arriba? ¿Se trata simplemente de la relación entre medida de probabilidad, pdf, cdf?

Answer 1

Sea $X:\Omega\rightarrow\mathbb{R}$ sea una variable aleatoria. Recordemos que la función FCD $F_X(x)$ se define $F_X(x)=P[X \leq x]$ . La variable aleatoria $X$ se dice continuo si la función FCD es continua para todo $x \in \mathbb{R}$ .

Aquí tienes algunos ejercicios. Resolverlos probablemente responderá a tus preguntas residuales:

1) Supongamos que existe un $y \in \mathbb{R}$ tal que $P[X=y]>0$ . Argumentar que $$|F_X(y) - F_X(w)|\geq P[X=y] \quad, \forall w<y$$ y, por tanto, la función FCD para $X$ no es continua en $y$ .

2) Supongamos $P[X\leq x]$ es continua para todo $x \in \mathbb{R}$ . Supongamos que el álgebra sigma para $\Omega$ incluye todos los conjuntos de un solo punto. Argumentar que $$P[\{\omega\}]=0 \quad, \forall \omega \in \Omega$$ Concluir que el espacio muestral $\Omega$ es incontablemente infinita.

3) Supongamos que la FDA de $X$ es discontinua. Demuestre que debe haber un $y \in \mathbb{R}$ tal que $P[X=y]>0$ .

4) Supongamos $X=h(Y)$ para alguna variable aleatoria $Y$ y alguna función (medible) $h:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ . Demuestre que si $Y$ tiene una FCD discontinua, entonces $X$ debe tener una FCD discontinua.

5) Pon un ejemplo de variables aleatorias $X, Y$ tal que $X=h(Y)$ , $Y$ tiene una FDA continua con partes planas (no estrictamente crecientes), pero $X$ tiene una FCD continua que es estrictamente creciente.

6) Pon un ejemplo de variable aleatoria $X:\Omega\rightarrow\mathbb{R}$ tal que $X(\omega)$ no es una función continua de $\omega$ pero la FDA de $X$ es continua. Esto requiere $\Omega$ para tener alguna métrica de distancia asociada a él, por lo que puede elegir, por ejemplo, $\Omega = [0,1]$ con las métricas habituales de distancia.

Answer 2

Lo que has dicho que es claramente cierto no lo es. Que $X$ es una función continua de $[0,1]$ en $\mathbb R$ hace no se deduce de que su f.d.c. es continua y estrictamente monótona. Por ejemplo, supongamos que la medida de probabilidad sobre $\Omega = [0,1]$ es la medida de Lebesgue y $$ X(\omega) = \begin{cases} \tan\dfrac \omega \pi & \text{at points where the value of that function is finite,} \\[8pt] 0 & \text{elsewhere.} \end{cases} $$ No se trata de una función continua de $[0,1]$ en $\mathbb R,$ pero su f.d.c. es continua y estrictamente monótona, y de hecho es absolutamente continua.

Sin embargo, la afirmación de que una variable aleatoria $X$ es "continua"

• a veces se entiende precisamente que su f.d.c. es continua, y
• significa que su f.d.c. es absolutamente continua.

La topología de $\Omega,$ si lo hay, no suele ser motivo de preocupación. De hecho, normalmente $\Omega$ en sí no es una preocupación; se trabaja con c.d.f.s en el espacio en el que $X$ mapas. Una función sobre $\Omega$ puede tener todo tipo de discontinuidades sin ninguna discontinuidad de la f.d.c.

La continuidad absoluta en este contexto equivale a tener una función de densidad de probabilidad, es decir, una función $f$ tal que para cada conjunto de Borel $A,$ $$ \Pr(X\in A) = \int\limits_A f(u)\,du. $$ Cuando existe tal función de densidad, la f.d.c. es continua e igual a $$ F_X(x) = \Pr(X\le x) = \int_{-\infty}^x f(u)\,du. $$ En algunos casos, una f.d.c. es continua sin tener ninguna parte absolutamente continua, por lo que no hay ninguna parte que tenga una función de densidad. El caso más conocido es probablemente la distribución de Cantor, definida como sigue:

Lanza una moneda y pon $X$ en algún punto del intervalo $[0,1/3]$ si se obtienen colas y en el intervalo $[2/3,1]$ si consigues cabezas.

Vuelve a lanzar la moneda y pon $X$ en el tercio inferior o superior de ese intervalo según obtengas cruz o cara.

Vuelve a lanzar la moneda y pon $X$ en el tercio inferior o superior de que intervalo según obtengas cruz o cara.

etc.

La f.d.c. de esta distribución es continua, como se puede comprobar observando que no hay masas puntuales, es decir, no hay $x\in\mathbb R$ tal que $\Pr(X=x)>0.$

Sin embargo, la medida del soporte de esta distribución es inferior a $2/3,$ y menos de $2/3$ de $2/3,$ y menos de $2/3$ de $2/3$ de $2/3,$ y así sucesivamente, por lo que es $0.$ Por lo tanto, si se integra cualquier función $f$ sobre ese soporte, se obtiene $0.$ Por lo tanto, esta distribución no tiene función de densidad, ni es una media ponderada de cualquier distribución con función de densidad y cualquier otra distribución.

Si una función $X$ de $[0,1]$ en $\mathbb R$ es continua y la medida de probabilidad en ese intervalo es la medida de Lebesgue, entonces la f.d.c. resultante es continua. Un lugar donde creo que esto importa puede ser en los generadores de números pseudoaleatorios.