Pregunta sobre la evaluación de la $\int_{C}\frac{e^{iz}}{z(z-\pi)}dz$ sin el teorema de los residuos

Question

Estoy tratando de averiguar cómo evaluar la integral de la $\int_{C}\frac{e^{iz}}{z(z-\pi)}dz$ donde $C$ es cualquier círculo centrado en el origen con radio mayor que $\pi$. Puedo ver que $\frac{e^{iz}}{z(z-\pi)}$ es analítica en todas partes, excepto donde$z=0$$z=\pi$, ambos de los cuales están en la región delimitada por $C$. También puedo ver que mediante la expansión de Taylor de $e^{iz}$ que $$\int_{C}\frac{e^{iz}}{z(z-\pi)}dz = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{i^{n}}{n!}\int_{C}\frac{z^{n-1}}{z-\pi}dz$$

Voy a solicitar del Teorema de Cauchy o de Cauchy de la Integral Teorema para evaluar la integral a lo largo de esta curva, pero no estoy seguro de cómo hacerlo. Yo todavía no tiene el teorema de los residuos en mi caja de herramientas.

Answer 1

El uso parcial de la fracción de expansión que tenemos, para cada $R>\pi$,

$$\oint_{|z|=R} \frac{e^{iz}}{z(z-\pi)}\,dz=\frac1\pi\oint_{|z|=R} \frac{e^{iz}}{z}\,dz-\frac1\pi\oint_{|z|=R}\frac{e^{iz}}{z-\pi}\,dz$$

Ahora termine usando de Cauchy de la Integral de la Fórmula (o el teorema de los residuos).

Answer 2

Por la simetría de los residuos de $\frac{e^{iz}}{z(z-\pi)}$ $z=0$ $z=\pi$ son las mismas y la igualdad de $-\frac{1}{\pi}$.
De ello se deduce que para cualquier $R>\pi$ hemos $$ \oint_{\|z\|=R}\frac{e^{iz}}{z(z-\pi)}\,dz = 2\pi i\cdot\left(-\frac{2}{\pi}\right) = -4i.$$