El esclarecimiento de la homomorphism la definición?

Question

Así que, he escuchado mucho que homomorphism es una estructura en la preservación de la asignación entre algo algebraica de los objetos. Definición rigurosa es: $f(x \circ y) = (f x) \circ (f y)$. Y no es lo suficientemente claro para mí por qué el funcionamiento de la izquierda (denotado como $\circ$) se mantiene sin cambios en el derecho? Qué significa que homomorphism supongamos que sólo funcionan con algebraicas objetos de compartir la misma operación? O esta definición no es lo suficientemente explícita, sombreando el hecho de que $\circ$ obtiene asignada a una, digamos, $\bullet$ y los que son diferentes, en general?

Intuitivamente se siente como $f(x \circ y) = (f x) \bullet (f y)$ sería más correcto.

Answer 1

Y su intuición es correcta. Generalmente, la homomorphism es entre dos estructuras algebraicas con operaciones distintas.

Answer 2

Qué significa que homomorphism supongamos que sólo funcionan con algebraicas objetos de compartir la misma operación?

No. Esto significa que, cuando se trabaja con objetos algebraicos, se suelen compartir el mismo símbolo para las diferentes operaciones.

Herstein del libro (pág. 67) explica esta cuestión en el contexto de los grupos:

Definición. Deje $G, G'$ dos grupos; a continuación, la asignación de $\varphi:G\to G'$ es un homomorphism si $\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)$ todos los $a, b\in G$.

En esta definición el producto en el lado izquierdo - en $\varphi (ab )$ - es que de $G$, mientras que el producto $\varphi(a)\varphi(b)$ es de $G'$.

De forma análoga, para un general homomorphism $f(x \circ y) = (f x) \circ (f y)$, el símbolo de $\circ$ en el de la izquierda representa la operación en el dominio, mientras que el símbolo $\circ$ en el de la derecha representa la operación en el codominio.

Answer 3

Sí, estás en lo correcto. Tomemos, por ejemplo, $A=B=\mathbb{R}$, y tomar la costumbre de suma ( $+$ ) $A$ y el producto habitual de ( $\cdot$ )$B$. A continuación, un homomorphism entre las dos estructuras de $(A,+)$ $(B,\cdot)$ es una función de $f:A\longrightarrow B$ tal que para cada una de las $x,y\in A$ hemos \begin{equation} f(x+y)=f(x)\cdot f(y) \end{equation} Un ejemplo de esta función es la exponencial, $f(x)=e^x$.

Answer 4

La teoría de la estructura algebraica introduce un lenguaje para expresar los cálculos. Por ejemplo, la teoría de un anillo introduce los símbolos $0,1,+,-,\cdot$, y tenemos un idioma a través de los símbolos para expresar cálculo.

Generalmente, podemos expresar las cosas en este idioma a menos que exista una razón de peso para no hacerlo.

Entre las cosas anillo homomorphisms debe satisfacer se requiere $f(x \cdot y) = f(x) \cdot f(y)$. Cuando usted lee la ecuación, usted debe leer las dos instancias de $\cdot$ como una referencia a la operación dada en la teoría de un anillo; en este sentido, ambas partes se refieren a la "misma operación".

¿Qué es diferente acerca de los dos lados es la interpretación de la operación:

• En $f(x \cdot y)$, uno interpreta la operación de acuerdo con el dominio de $f$
• En $f(x) \cdot f(y)$, uno interpreta la operación de acuerdo con el codominio de $f$

La (correcta!) la idea que expresa es que estas interpretaciones pueden ser totalmente diferentes funciones entre conjuntos.

SI usted estuviera en una situación en la que realmente tenía causa para expresar la aritmética en términos de nombres para las funciones específicas que sirven como las interpretaciones, entonces, si la interpretación de $\cdot$ en el dominio es una función que se llame a $\circ$, y en el codominio es una función que se llame a $\bullet$, entonces sería, de hecho, traducir $f(x \cdot y) = f(x) \cdot f(y)$ en la expresión de $f(x \circ y) = f(x) \bullet f(y)$.

Answer 5

Estás en lo correcto. Es un abuso de notación. Más formalmente, usted debe tener algo como la siguiente.

Supongamos $(G,\oplus_G)$ $(H,\oplus_H)$ son grupos. A continuación, $f:G\to H$ es un homomorphism si y sólo si $$f(x \oplus_G y ) =f(x) \oplus_H f(y)$$ for all $x,y\in G$.

El subíndice a menudo se cayó y se infiere del contexto-que es el "abuso".