¿Qué pasaría si, en cambio, hiciéramos falsas las verdades vacías?

Question

Es bien sabido que las verdades vacías son un concepto, es decir, que una implicación es verdadera aunque la premisa sea falsa.

¿Cuál sería el problema de redefinir simplemente esto para que se evalúe como falso? ¿Seguiríamos siendo capaces de hacer que los sistemas funcionen con esta definición o llevaría a un problema en alguna parte? ¿Por qué debe ser el caso que falso -> falso es verdadero y falso -> verdadero es verdadero?

Answer 1

Observa que 3=5 es falso. pero si 3=5 podemos demostrar que 8=8 es verdadero.

$$ 3=5$$

por lo tanto $$ 5=3$$

Añade ambos lados, $$8=8$$

También podemos demostrar que $$ 8=10$$ lo cual es falso.

$$ 3=5$$

Añadir $5$ a ambos lados, obtenemos $$8=10$$

La cuestión es que si partimos de un supuesto falso, podemos afirmar lo que queramos.

Eso quiere decir que " Falso $\implies$ Falso " es verdadero.

Y " Falso $\implies$ Verdadero " es verdadero.

Answer 2

Está claro que queremos $P\rightarrow P$ para ser verdad, ¿no estás de acuerdo?

Quiero decir, si yo digo:

Si Pat es soltero, entonces Pat es soltero

¿realmente discutes la verdad de esa afirmación, o afirmas que depende de si Pat realmente es soltero o no? El objetivo de los condicionales es que podamos decir si ', y así imaginar una situación en la que algo sería el caso, tanto si es realmente el caso como si no. Y adivina qué: si Pat sería un soltero, entonces Pat sería un soltero, aunque Pat no sea realmente un soltero.

Por lo tanto, si $P$ es falso, es mejor que sea el caso que $false \rightarrow false = true$ , ya que de lo contrario $P \rightarrow P$ sería falsa, lo cual es extraño.

Por supuesto, también queremos $true \rightarrow true = true$ por este mismo argumento, pues de lo contrario tendríamos de nuevo $P \rightarrow P$ siendo falso.

En cuanto a $false \rightarrow true$ se refiere: dado que tenemos que $true \rightarrow true =true$ , $false \rightarrow false$ y ( creo que seguramente estarás de acuerdo) $true \rightarrow false = false$ Será mejor que pongamos $false \rightarrow true =true$ porque, de lo contrario, el $\rightarrow$ se convertiría en conmutativa, es decir, tendríamos que $P \rightarrow Q$ equivale a $Q \rightarrow P$ ... lo cual es altamente indeseable, ya que los condicionales tienen una "dirección" que no puede ser revertida automáticamente. De hecho, aunque creo que estarías de acuerdo con la verdad de:

'si Pat es soltero, entonces Pat es hombre'

Dudo que estés de acuerdo:

'si Pat es hombre, entonces Pat es soltero'

EDITAR

Releyendo su pregunta, y teniendo en cuenta algunas de las discusiones y comentarios posteriores, me pregunto si lo siguiente podría ayudar:

Supongamos que conozca alguna declaración $P$ es falso, es decir, sabemos que

$1. \neg P \quad Given$

Entonces podemos demostrar que $P$ implica cualquier $Q$ dada la definición estándar de implicación lógica:

$2. P \quad Assumption$

$3. P \lor Q \quad \lor \ Intro \ 2$

$4. Q \quad Disjunctive \ Syllogism \ 1,3$

Y, utilizando nuestra regla típica para $\rightarrow \ Intro$ , entonces también podemos obtener:

$5. P \rightarrow Q \quad \rightarrow \ Intro \ 2-5$

Y esto, por supuesto, funciona tanto si $Q$ es verdadero o falso.

Answer 3

No tengo mucho que decir al respecto, pero antes me molestaba mucho el concepto de verdad vacía y sólo estas dos observaciones calmaban mi dolencia.

1.) Es evidente que se quiere $A\land B\implies A$ y esto no sería cierto sin $false \implies true$ ser verdad.

2.) $false \implies true $ es exactamente la misma afirmación que "el conjunto vacío está contenido en cualquier otro conjunto", lo que para mí es intuitivo.

Answer 4

En este momento, nos gusta hacer declaraciones como

Si $a$ y $b$ son ambos pares, entonces $a+b$ está en paz.

O bien, podríamos escribirlo matemáticamente como $$ a \equiv b \equiv 0 \pmod{2} \implies a+b \equiv 0 \pmod{2}. $$ Si tuviéramos que redefinir $\implies$ para desautorizar las implicaciones vacuamente verdaderas, esto ya no sería una afirmación verdadera, debido a casos como " $1$ y $3$ son ambos Impares, pero $1+3$ es par". Pero seguimos queriendo hablar de tales afirmaciones, así que probablemente acabaríamos diciendo frases más largas como

La declaración " $a$ y $b$ son ambos pares" implica en el sentido que permite implicaciones vacuamente verdaderas la afirmación " $a+b$ está en paz".

Esta es una relación muy útil para hablar, por lo que sólo nos condenaría a una redacción más larga sin una buena razón. Mientras tanto, ya tenemos conjunciones como "y" y "si" para describir casos en los que ambos enunciados deben ser verdaderos, o en los que ambos enunciados deben tener el mismo valor de verdad.

La terminología matemática se rige por la utilidad. Si fuera útil que "si" significara lo que tú quieres que signifique, lo haríamos. Pero es útil que los enunciados si-entonces sean verdaderos en casos vacíos, al igual que es útil (por poner otros ejemplos) tener $0$ sea un número par y tenga $1$ no sea ni primo ni compuesto. Así que nos quedamos con el significado que nos facilita la vida.

Answer 5

Es bien sabido que las verdades vacías son un concepto, es decir, que una implicación es verdadera aunque la premisa sea falsa.

¿Cuál sería el problema de simplemente redefinir esto para que sea evaluado como falso?

Una respuesta a la pregunta es que ya no podríamos saber que P → Q del hecho de que sabemos ¬ P ∧ Q . Tampoco podríamos saber que P → Q de ¬( P ∧ ¬ Q ). Y ya no sabríamos de ¬ Q → ¬ P que P → Q .

Así, por ejemplo, si supiera que un número dado no es divisible por 3 o que es par, no podría deducir que si el número es divisible por 3 sería par.

Del mismo modo, si supiera que un número dado no es a la vez divisible por 3 y no es par, tampoco podría inferir que si el número fuera divisible por 3 sería par.

Por último, si supiera que si un determinado número no es par tampoco es divisible por 3, entonces no podría saber que si es divisible por tres, es par.

En cada uno de los casos anteriores, si Si P, Q era falso cuando P fuera falsa, la conclusión podría ser falsa porque el número en cuestión podría ser divisible por 3.

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Nota

Si hiciéramos P → Q verdadero cuando P fuera falso entonces → sería simplemente ∧. No podemos sustituir la implicación material (IM) por ∧ porque, la IM es lo que es por definición. Por lo tanto, tomo esta pregunta en el sentido de qué pasaría si tomáramos ' Si P, Q sea falsa cuando P es falso.