Compacto operadores y completamente continuo de los operadores

Question

Un operador compacto entre espacios de Banach es un operador que se asigna acotado establece en relativamente compacto conjuntos, mientras que un completamente continuo operador de mapas de todo débilmente convergente secuencias secuencias convergentes.

Compacto operadores son siempre completamente continuo, pero completamente continuo de los operadores puede ser no-compacto: la identidad del operador en el Schur espacio de ${\rm l}_1$ es un ejemplo. En reflexiva de espacios, completamente continuo de los operadores son compactos, por lo que las dos clases de operadores son los mismos.

Aquí están mis preguntas:

1. Si las clases de operadores compactos y completamente continuo de los operadores son los mismos, ¿qué podemos decir sobre el espacio? Debe ser reflexivo?

2. ¿Qué podemos decir sobre el espectro de completamente continuo de los operadores?

Answer 1

No sé la parte superior de mi cabeza de una caracterización de cuando el completamente continuo de los operadores coinciden con el compacto de los operadores, pero sin duda un espacio que no necesita ser reflexivo; por ejemplo, considere el James espacio. En particular, se muestra en la Proposición 4.9 de Niels Laustsen de papel de la Máxima ideales en el álgebra de los operadores en ciertos espacios de Banach, Actas de la Sociedad Matemática de Edimburgo 45 (2002), 523-546, que el pacto por los operadores coinciden con el completamente continuo de los operadores en el James espacio.

Otro ejemplo de no-reflexiva espacio donde todos completamente continuo operador compacto es el espacio de $C(K)$ de todo el continuo de las funciones escalares en $K$ (con el sup norma), donde $K$ es un dispersos, compacto Hausdorff espacio. De hecho, lo contrario también es cierto: un compacto Hausdorff espacio se dispersa si y sólo si todos completamente continuo operador en $C(K)$ es compacto.

Edit: por supuesto, una forma fácil de contraejemplo (implícitamente contenida en mi $C(K)$ contraejemplo de arriba) a la pregunta de si la reflexividad es necesaria para todo completamente continuo operador compacto es el espacio de secuencia $c_0$. La unidad estándar de vector de la base de $c_0$ es débilmente null, pero no de la norma nula, por lo que el ideal de completamente continuo de los operadores en $c_0$ está correctamente contenida en el álgebra de todos los delimitada lineal de operadores en $c_0$. Por otro lado se trata de una clásica resultado de que el álgebra de todos los delimitada lineal de operadores en $c_0$ contiene sólo una no-trivial cerrado de dos caras ideal, a saber, el pacto de los operadores. Se deduce entonces que el ideal de operadores compactos en $c_0$ y el ideal de completamente continuo de los operadores de $c_0$ debe ser el mismo.

Answer 2

Lo siento arrastrar hasta un hilo viejo, pero en cuanto a la primera pregunta:

Para $E$ un espacio de Banach, el teorema de Edward Odell establece que las siguientes afirmaciones son equivalentes:

$\ \ \ $1) $E$ no contiene copia de $\ell_1$.

$\ \ \ $2) Todos completamente continuo operador en $E$ (a algunos de Banach espacio) es compacto.

Este resultado se hace referencia en el Corolario 5 de este documento.

Odell del Teorema anterior se demostró en la página 377 en el papel: H. P. Rosenthal, Punto de sabio subconjuntos compactos de la primera clase de Baire, Amer. J. Matemáticas., $\bf 99$, (1977), pg. 362-378.

Una copia de este se puede encontrar aquí.