Triple "identidad Pitagórica"

Question

No es difícil encontrar múltiples funciones trigonométricas del período $2\pi$ que sumado a la auto desplazado por una constante desplazamiento resultado en una constante.

En el clásico de identidad pitagórica, usted tiene

$$F(x)+F\left(x+\frac{\pi}{2} \right) = 1 $$

donde $F(x)=\sin^2 x$

O usted puede usar la simetría de la onda sinusoidal y crear

$F(x)+F(x+\pi ) = 0$

donde $F(x) = \sin x$

Ahora lo que estoy buscando es una transformación de la función del seno que manteniendo el $2\pi$ período, le da identidad si se repite tres veces, con $\frac 2 3 \pi$ cambio en cada aspecto:

$$F(x) + F\left(x + \frac 2 3 \pi \right) + F\left(x+\frac 4 3 \pi\right) = \mathrm{const}$$

Se puede encontrar una función de este tipo?

La razón y propósito:

He estado tratando de desarrollar una mejor RGB$<=>$el espacio de color HSV de la conversión de todas las comunes en el uso de diente de sierra de estilo variante de funciones con la variante de ecuaciones, y creo que el uso de funciones trigonométricas podría resultar en la más suave de color pasajes, nunca mente mucho más simple algoritmo.

Answer 1

$$ e^{i\theta} + e^{i(\theta+2\pi/3)} + e^{i(\theta+4\pi/3)} = 0. $$ (Dibuja la imagen y esto es obvio.)

Por lo tanto, la suma de las tres partes reales es $0$.

Answer 2

Deje $F(x)=\sin(ax+b)$ donde a,b son constantes indeterminadas.

$F(x) + F\left(x + \frac 2 3 \pi \right) + F\left(x+\frac 4 3 \pi\right) $

$=\sin(ax+b)+\sin(a(x+\frac{2\pi}{3})+b)+\sin(a(x+\frac{4\pi}{3})+b)$

$=\sin(ax+b)+\sin(a(x+\frac{4\pi}{3})+b)+\sin(a(x+\frac{2\pi}{3})+b)$

$=(1+2\cos\frac{2\pi a}{3})\sin(a(x+\frac{2\pi}{3})+b)$

Esta expresión puede no ser constante para todos los $x$ si $1+2\cos\frac{2\pi a}{3}=0$

O, $\cos\frac{2\pi a}{3}=-\frac{1}{2}=\cos\frac{2\pi}{3}$

$\implies \frac{2\pi a}{3}=2m\pi±\frac{2\pi}{3}$ donde $m$ es un número entero,

$\implies a=3m±1$

$F(x)=\sin(ax+b)$ donde $a$ es un número entero con $(a,3)=1$.

Como $b$ es una constante indeterminada, podemos tener alguna otra constante indeterminada $c=b-\frac{\pi}{2}$

$F(x)=\sin(ax+\frac{\pi}{2}+c)=\cos(ax+c)$