La medida invariante en una superficie de energía de un sistema hamiltoniano

Question

Consideremos un sistema hamiltoniano con un hamiltoniano independiente del tiempo $H (p, q )$ . Por el Teorema de Liouville la medida $d^np d^nq $ se conserva.

Sin embargo, también hay que tener en cuenta que la energía se conserva y el sistema no evoluciona en un espacio, sino en una hipersuperficie, es decir, la superficie de energía $E = H(p, q)$ .

Entonces, ¿cuál es la medida invariante en la superficie de energía, si es que existe tal medida?

Answer 1

Tienes razón en que mientras el teorema de Liouville dice algo sobre la invariabilidad de la medida $\Pi dq dp$ no dice nada directamente sobre una medida invariante en la hipersuperficie dada por $E=H(p,q)$ .

En su excelente libro Fundamentos matemáticos de la mecánica estadística Khinchin (Sección 7) muestra que existe una medida invariante en esa hipersuperficie. Esa medida invariante $\mu$ está dada por:

\begin {Ecuación} \mu (M) = \int_M \frac {ds}{|| \nabla H|}, \end {Ecuación}

para un conjunto $M$ , donde $ds$ es un elemento de volumen en esa hipersuperficie. Como se ha señalado aquí a grandes rasgos, $1/|\nabla H|$ describe el espesor de la hipersuperficie de energía en ese punto.

Añadido: Y aquí es otro hilo sobre este tema.

Answer 2

Como dijo Menachem, \begin {Ecuación} \mu (M) = \int_M \frac {ds}{|| \nabla H|}, \end {ecuación} es una buena respuesta.

Ahora quiero dar una respuesta más abstracta $\mu_E$ con elemento de superficie $d\sigma$ que se describirá a continuación.

Consideremos N partículas con medida de espacio de fase $d\tau=dq_1...dq_N dp_1...dp_N$

Dejemos que $d\sigma$ sea una medida sobre la superficie de energía tal que $d\sigma dE=d\tau$ . Llama a la medida $\mu_E$ Así que $\mu_E(V)=\int_{V\cap \Sigma_E} d\sigma$ . Aquí, $\Sigma_E$ es la superficie de energía y V es cualquier volumen del espacio de fase. Podemos demostrar entonces que dicha medida de superficie es invariante del flujo hamiltoniano.

Dejemos que $\phi_t()$ sea el flujo hamiltoniano ( es decir, una evolución temporal del estado inicial $\tau_0$ es $\phi_t(\tau_0)$ ). Por el Teorema de Liouvill, $d\tau$ es invariante del flujo hamiltoniano. $$ \int_V d\tau =\int_{\phi_t(V)} d\tau $$

Ahora corta $V$ estar entre $E$ y $E+\Delta E$ y sólo conservar la cáscara. $$ \int_{E}^{E+\Delta E} \int_{V \cap \Sigma_{E'}} dE'd\sigma = \int_{E}^{E+\Delta E} \int_{\phi_t(V) \cap \Sigma_{E'}} dE'd\sigma$$

Esto es válido para cualquier $E$ y $\Delta E$ que elijamos (debido a la conservación de la energía). Ahora sustituimos la definición de $\mu_E(V)$ y $\mu_E(\phi_t(V))$ $$ \int_{E}^{E+\Delta E} dE' \mu_{E'}(V) = \int_{E}^{E+\Delta E} dE' \mu_{E'}(\phi_t(V))$$

Como esto es válido para cualquier $E$ y $\Delta E$ dividimos ambos lados por $1/\Delta E$ , fije E, entonces tome $\Delta E$ para acercarse a cero. Obtenemos $$ \mu_{E}(V)=\mu_E(\phi_t(V)) $$ La derivación anterior muestra que si podemos construir un $d\sigma$ tal que $d\sigma dE=d\tau$ entonces la construcción es invariante del flujo.

Ahora mostramos la medida que escribió Menachem, $(ds/ |\nabla H| )$ sí satisface $(ds/ |\nabla H|) \ dE= d\tau $ . Desde $ds\ dh=d\tau$ , donde $dh$ es la altura del elemento de volumen en el espacio de fase, queremos mostrar $dh=dE/ |\nabla H|$ o $dh |\nabla H|=dE$ y esto es casi la definición de derivada. (Si consideramos $\vec{dh}$ como un vector en el espacio de fase normal a la superficie de energía, entonces $dE=\vec{\nabla} H \cdot \vec{dh}=|\nabla H| dh$ )

En la dirección de avance, $dh |\nabla H|=dE$ -> $dE/|\nabla H|=dh$ -> $dE/|\nabla H|\ ds=dh\ ds=d\tau$ -> $(ds/|\nabla H|)\ dE=d\tau$ . Por la derivación anterior $ds/|\nabla H|$ da una medida invariante del flujo.

Answer 3

La medida de Liouville es, básicamente, el volumen de una pequeña región de dimensión completa en el espacio de fase. Si se conoce la posición y el momento de cada partícula exactamente el estado del sistema es descrito por un punto en el espacio de fase, y el teorema de Liouville se vuelve trivial, porque obviamente un punto es siempre de dimensión cero, independientemente de cómo se mueva. Es cierto que la trayectoria del punto estará confinada en una hipersuperficie de H constante (si el hamiltoniano no depende explícitamente del tiempo), pero no hay ninguna "medida" interesante que conservar.

El teorema de Liouville se vuelve útil cuando se tiene un conjunto estadístico de los sistemas, o más prosaicamente, cuando las posiciones y los momentos tienen cierta incertidumbre. Por ejemplo, consideremos el conjunto de sistemas de una sola partícula en el que la posición y los momentos están inicialmente distribuidos de manera uniforme en los intervalos $(x, p) \in [x_0 - \epsilon, x_0 + \epsilon] \times [p_0 - \delta, p_0 + \delta]$ para algunos pequeños $\epsilon$ y $\delta$ . Entonces, el conjunto se describe mediante un $\epsilon \times \delta$ rectángulo en el espacio de fase, y el área de esta región se distorsionará con el tiempo, pero su área $\epsilon \delta$ se mantendrá constante. Tal conjunto se extenderá genéricamente sobre un rango finito de valores $H$ del hamiltoniano. Así pues, en el contexto del conjunto en el que el teorema de Liouville es útil, "el sistema" no está de hecho confinado a una única hipersuperficie.

En un sistema de coordenadas dado en el espacio de fase, se puede definir una hipersuperficie de codimensión 1 $A(E)$ por la intersección del volumen del sistema de conjuntos y la hipersuperficie con energía $E$ y el teorema de Liouville garantiza la conservación del volumen $\int_{-\infty}^\infty A(E)\, dE$ . Pero no estoy seguro de si la función $A(E)$ se conserva, porque como sugieres, no es obvio que esta medida del área de la hipersuperficie pueda definirse de forma que quede invariante bajo transformaciones canónicas.