Cómo solucionar para $x$$x(x^3+\sin x \cos x)-\sin^2 x =0$?

Question

¿Cómo puedo resolver para $x$ $$x\left(x^3+\sin(x)\cos(x)\right)-\big(\sin(x)\big)^2=0$$

Odio cuando me encuentre algo que parece simple, que yo sé cómo hacerlo, pero se mantiene por mí.

Yo podría llegar con un aproximado de respuesta con Taylor, pero, ¿cómo puedo solucionar esto?

(por cierto, WolframAlpha me dice la respuesta, pero quiero saber cómo se resuelve.)

Answer 1

Podemos demostrar que $x=0$ es la única solución.

Vamos

$$f(x)= x^4+x \sin(x) \cos(x)- \sin^2(x) \,.$$

A continuación, $f$ es aún, por lo que es suficiente para buscar raíces en $[0, \infty)$.

Usted cana lso observar que $f(x)\geq x^4 -x-1$, y un sencillo cálculo muestra que para todos los $x> \sqrt[3]{2}$ tenemos $x^4-x-1 >0$.

Por lo tanto la única posible positivo raíces están en el intervalo de $[0, \sqrt[3]{2}]$, que está dentro del primer cuadrante.

A continuación, para todos los $x \neq 0$, mediante el uso de $x >\sin(x)$ hemos

$$ x^4+x\sin(x)\cos(x)-\sin^2(x) >x^2 \sin^2(x)+\sin^2(x)\cos(x)-\sin^2(x)$$ $$=\sin^2(x)(x^2+\cos(x)-1)>\sin^2(x)(x^2+\cos^2(x)-1)=\sin^2(x)(x^2-\sin^2(x))>0$$

P. S. Solo para aclarar, necesitamos hacer primero la reducción al primer cuadrante para asegurarse de que $x> \sin(x)$ implica que las desigualdades del tipo $x\sin(x)\cos(x) > \sin^2(x)\cos(x) $

P. P. S también sospecho que $f'(x) >0$$x>0$, lo que llevaría a una segunda prueba de que el problema. Tenga en cuenta que $$f'(x)=4x^3+x \cos(2x)-\frac{1}{2}\sin(2x)$$ que puede ser de fácil demostrado ser positivo en $(0,\frac{\pi}{2}]$$(\frac{\pi}2, \infty)$.

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AÑADIDO: Segunda solución

$$f''(x)= 12x^2 -2x \sin(2x)$$

Si $x>0$ desde $\sin(2x)<2x$ hemos

$$12x^2 -2x \sin(2x)> 12x^2-2x\cdot(2x)>0$$

Por lo tanto $f'(x)$ es estrictamente creciente en a $[0, \infty)$. Desde $f'(0)=0$ tenemos que $f'(x)>0$ todos los $x>0$. Por lo tanto $f(x)$ es estrictamente creciente en a $[0, \infty)$, y desde $f(0)=0$, se deduce que el $f(x)=0$ no tiene solución en $(0, \infty)$. Desde $f(x)$ es incluso, se deduce que el $x=0$ es la única solución.

Answer 2

Polinomios y de funciones trigonométricas no juegan bien juntos, por lo que generalmente son atascado con soluciones numéricas. Usted puede comenzar por señalar que $x=0$ es una doble raíz, uno desde el exterior $x$ y uno de la $x/\sin x$ términos.

Answer 3

El uso de la identidad de $\cos x=1-2\sin^2(x/2)$ y introduccing la función de ${\rm sinc}(x):={\sin x\over x}$ podemos reescribir la función dada $f$, de la siguiente manera: $$f(x)=x^2\left(x^2\left(1-{1\over2}{\rm sinc}(x){\rm sinc}^2(x/2)\right)+{\rm sinc}(x)\bigl(1-{\rm sinc}(x)\bigr)\right)\ .\qquad(*)$$ Ahora ${\rm sinc}(x)$ $\geq0$ $[0,\pi]$ y de valor absoluto $\leq1$ a lo largo. Por distinguir los casos de $0<x\leq\pi$ $x>\pi$ puede ser verificado por la inspección, que $f(x)>0$$x>0$. Desde $f$ es aún sigue ese $x_0=0$ es el único cero real de $f$.

[Se llega a la representación $(*)$ mediante la ampliación de las funciones simples que aparecen en el $f$ en una serie de Taylor alrededor de $0$ y agrupación de los términos de la misma orden hábilmente.]

Answer 4

Vamos a hacerlo de una manera sencilla. Como N. S. notado, la función es par. Es suficiente analizar las cosas en el real positiva del eje:

$$x\left(x^3+\sin(x)\cos(x)\right)-\big(\sin(x)\big)^2\geq x\left(x^3+x-x^3\right)-\big(\sin(x)\big)^2\geq 0$$ $$ x^2 \geq \big(\sin(x)\big)^2$$

Anteriormente he utilizado el hecho de que $\sin(x)\cos(x)\geq x-x^3$ $x \ge 0$ para que podemos utilizar la siguiente prueba (o introduzca aquí para obtener más agradable pruebas):

Vamos a considerar

$$f(x) = \sin(x) \cos(x)-x+x^3$$ entonces $$f'(x) = 3 x^2-2\sin^2(x)\tag1$$ $$x\ge \sin(x)\tag2$$ De $(1)$ $(2)$ inmediato nos damos cuenta que $f'(x)\ge0$, y teniendo en cuenta que el $f(0)=0$ podemos concluir que la desigualdad se cumple. La igualdad es, obviamente, sólo se alcanza cuando se $x=0$.
Por lo tanto la única solución es que tengo por $x=0$.

Q. E. D.