Cómo demostrar a $\sum_{k=1}^n \cos(\frac{2 \pi k}{n}) = 0$ para cualquier n>1?

Question

Puedo mostrar que para cualquier valor dado de n que la ecuación

$$\sum_{k=1}^n \cos(\frac{2 \pi k}{n}) = 0$$

es verdad y puedo ver que geométricamente es cierto. Sin embargo, me parece que no puede probarlo a cabo analíticamente. He pasado la mayor parte de mi tiempo tratando de inducción y convertir el coseno de una suma de funciones exponenciales complejas

$$\frac{1}{2}\sum_{k=1}^n [\exp(\frac{i 2 \pi k}{n})+\exp(\frac{-i 2 \pi k}{n})] = 0$$

y el uso de la conversión para geométrica finita secuencias

$$S_n = \sum_{k=1}^n r^k = \frac{r(1-r^n)}{(1-r)}$$

Incluso he intentado esto esta sugerencia que he visto en la red tirando de un factor de $\exp(i \pi k)$, pero aún no se lo he llegado a cero.

Por favor, ayudar.

Answer 1

Tenemos $$\sum_{k=1}^{n}\cos\left(\frac{2\pi k}{n}\right)=\textrm{Re}\left(\sum_{k=1}^{n}e^{2\pi ik/n}\right) $$ and so $$\sum_{k=1}^{n}e^{2\pi ik/n}=\frac{e^{2\pi i/n}\left(1-e^{2\pi i}\right)}{1-e^{2\pi i/n}} $$ and notice that $$e^{2\pi i}=\cos\left(2\pi\right)+i\sin\left(2\pi\right)=1 $$ por lo que la demanda de la siguiente manera.

Answer 2

Usted está considerando la parte real de la suma de las raíces de la $x^n-1$. Por Viète del teorema de la suma de las raíces de la $x^n-1$ es el coeficiente de $x^{n-1}$, es decir, cero.

Answer 3

Un enfoque es escribir

$$\cos\left(\frac{2\pi k}{n}\right)=\frac{1}{2\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)}\left(\sin\left(\frac{2\pi(k+1)}{n}\right)-\sin\left(\frac{2\pi(k-1)}{n}\right)\right)$$

Ahora, hemos convertido la suma en una telescópica suma, que podemos evaluar directamente como

$$\begin{align} \sum_{k=1}^n\cos\left(\frac{2\pi k}{n}\right)&=\frac{1}{2\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)}\left(\sin\left(\frac{2\pi(n+1)}{n}\right)+\sin\left(\frac{2\pi(n)}{n}\right)\right)\\\\ &-\frac{1}{2\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)}\left(\sin\left(\frac{2\pi(2-1)}{n}\right)+\sin\left(\frac{2\pi(1-1)}{n}\right)\right)\\\\ &=\frac{1}{2\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)}\left(\sin\left(\frac{2\pi(n+1)}{n}\right)-\sin\left(\frac{2\pi(2-1)}{n}\right)\right)\\\\ &=\frac{1}{2\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)}\left(\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)-\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)\right)\\\\ &=0 \end{align}$$