¿Prueba de acceso directo de ecuaciones diferenciales exactas?

Question

Hoy en mi clase de matemáticas, hemos aprendido acerca de la exacta de las ecuaciones diferenciales. Durante la clase, nuestra maestra nos enseñó la forma aceptada para resolver exacta de las ecuaciones, pero luego, nos contó de un acceso directo que uno de sus alumnos había descubierto al parecer hace varios años, donde la integración de los componentes, y "combinar" los términos comunes.

Por ejemplo, si tengo la siguiente ecuación: $(x^2 + y^2)dx + (2xy + \cos{y})dy = 0$, entonces el acceso directo sería el siguiente:

$$\begin{align} \int(x^2 + y^2)dx \;\;\;\;\; & and\;\;\;\;\;\; \int (2xy + \cos{y})dy \\ \frac{1}{3}x^3 + xy^2 \;\;\;\;\; & and\;\;\;\;\;\; xy^2 + \sin{y} \end{align}$$

Debido a $xy^2$ es un término común a ambas expresiones, iba a "fusionar" la ecuación en la siguiente para obtener la solución final:

$$\frac{1}{3}x^3 + xy^2 + \sin{y} = c$$

Nuestro maestro nos dijo que ni ella ni el estudiante fue capaz de demostrar formalmente por qué esto funciona, y así nos advirtió en contra de depender de este tipo (más específicamente, ella nos dijo que eran los únicos autorizados a utilizar este método para comprobar nuestro trabajo en nuestra próxima prueba).

Dado que mi maestro había dificultades para averiguar cómo funciona esto, me siento mal equipados para probar y demostrar cómo y por qué funciona esto por mi cuenta. Puede alguien ayudarme a entender o demostrar (o refutar) la validez de este método abreviado?

Edit: he corregido el final de la ecuación de $\frac{1}{3} + xy^2 + \sin{y} = c$ $\frac{1}{3}x^3 + xy^2 + \sin{y} = c$

Answer 1

No creo que esto es un truco, porque es una manera de resolver exacta de las ecuaciones diferenciales. Supongamos que tenemos una exacta la ecuación diferencial $$M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0$$ cuya solución es de la familia $f(x, y) = \text{const.}$ Usted probablemente sabe que si $f(x, y)$ continuo segunda parciales, entonces $$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}.$$ Ahora, si $$\frac{\partial f}{\partial x} = M$$ y $$\frac{\partial f}{\partial y} = N,$$ entonces $$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}.$$ Esto nos permite poner a prueba la exactitud. Una forma de encontrar el $f(x, y)$ es integrar a $M$ w.r.t. $x$ $N$ w.r.t. $y$. A continuación, tenemos que añadir una función arbitraria de $y$ para la primera integral y una función arbitraria de $x$ a la segunda. A continuación, podemos "fusionar" las ecuaciones como usted menciona. Por ejemplo, supongamos que $$\int M(x, y)dx = x - x^2 y + Y(y)$$ y $$\int N(x, y)dy = y^4 - x^2 y + X(x).$$ Vemos que $\partial f/\partial x = M$$\partial f/\partial y = N$, y $$f(x, y) = x - x^2 y + y^4.$$ Como resultado, $$x - x^2 y + y^4 = \text{const.}$$ Espero que esto ayude.

Answer 2

Podemos ver lo que está pasando si escribimos las cosas en su totalidad. Debido a que la forma diferencial es exacta, sabemos

$$(x^2 + y^2)dx + (2xy + \cos{y})dy = df(x,y)$$

para algunos la función $f(x,y)$, y nuestro plan es obtener un $f(x,y)$ a través de anti-diferenciación a partir de nuestro conocimiento de sus derivadas parciales. Las dos integrales se calculan:

$$\int (x^2 + y^2) \, dx = \frac{1}{3} x^3 + x y^2$$ $$\int 2xy + \cos y \, dx = x y^2 + \sin y $$

dio específicos anti-derivados, pero no la completa solución de espacios para este anti-diferenciación problema. En caso de obtener la solución completa recordando incluir la constante de integración (que es una función arbitraria de la otra variable):

$$\int (x^2 + y^2) \, dx = \frac{1}{3} x^3 + x y^2 + C_1(y)$$ $$\int 2xy + \cos y \, dx = x y^2 + \sin y + C_2(x)$$

las cosas se vuelven más claras. Sabemos que $f(x,y)$ debe ser en tanto la solución de los espacios, y eso es lo que el proceso de "fusión" de las soluciones que está haciendo: es encontrar la clase de las funciones que coinciden ambas formas.

La completa candidato espacio de solución para $f$ es

$$ f(x,y) = \frac{1}{3} x^3 + x y^2 + \sin y + C_3$$

De hecho, el método de solución no introducir soluciones espurias, por lo que cada candidato solución es realmente una solución.

Answer 3

Hay un método alternativo aplicado aquí con la idea de que el factor de integración. Si usted reagrupar los términos como esta

$$\left(x^2dx+\cos y dy\right)+\left(y^2dx+2xydy\right)=0$$ A continuación, el primer tramo tiene factor de integración $1$ conduce a la solución de $\frac{1}{3}x^3+\sin y=C$ y por razones que se explican en el post hace referencia más general, factor de integración de esta parte es $\phi\left(\frac{1}{3}x^3+\sin y\right)$ donde $\phi$ es una función arbitraria. La segunda parte tiene factor de integración $\frac{1}{xy^2}$ que por cierto lleva conduce a la solución de $xy^2=C$. Por lo tanto, la mayoría de forma general se $\frac{1}{xy^2}\psi\left(xy^2\right)$. Por lo tanto, dejar que $\phi(t)=t$, $\psi(t)=1$ hacemos ambos factores iguales y dado que son iguales a $1$ la ecuación es exacta y la solución general es, en consecuencia, la suma de los dos resultados parciales.

Answer 4

Hay algo mal porque si usamos la diferenciación implícita obtener la ecuación diferencial $$\frac{1}{3} + xy^2 + \sin{y} = c$ $ este no suceda.

$$\frac{d}{dx}\frac{1}{3} + xy^2 + \sin{y} = \frac{d}{dx}c$$
$$y^2 + x2y\frac{dy}{dx}+ \frac{dy}{dx}\cos{y} = 0$$
$$y^2 + (2xy+ \cos{y)\frac{dy}{dx}} = 0$$

Que es diferente de su ecuación, entonces se escribe con error la respuesta o el método no funciona.

Answer 5

Sí, este es un atajo para ir directamente a la respuesta, pero en algunos casos especiales, donde el álgebra funciona muy bien. Para el resto, usted tiene que generalizar el significado de "combinar" para ajustar las matemáticas y, a continuación, es correcto.

1. Caso fácil: literal de mezcla. La onu-compartida en términos de las integrales dependen $x$ sólo en una parte integral e $y$ sólo en el otro. Este es el modelo de situación se muestra en la pregunta.

2. Caso intermedio: la onu-compartida términos dependen del $x$o $y$ -, pero ambos tipos de términos que pueden aparecer juntas. Ejemplo: si las integrales había sido $$\frac{1}{3} x^3 + (xy^2) + 2y \quad \text{and} \quad (xy^2) + \sin y + 5x$$ with parenthesis around the terms we hope to "merge", then these should be adjusted to $$\frac{1}{3} x^3 -5x + (xy^2+2y+5x) \quad \text{and} \quad (xy^2 + 2y+5x) -2y + \sin y $$ which is of the easy type. The answer is $$\frac{1}{3} x^3 -5x + (xy^2+2y+5x) -2y + \sin y $$ and except for some minus signs, every term is copied from a term that appeared in the two integrals. Practically speaking this is the same as case 1 because the unshared terms ($2y$ and $5$) que dependen de una variable en la integral de la función de los otros, puede ser considerado como irrelevante constantes de integración y es legítimo para eliminarlos en el inicio.

3. Más difícil caso: hay naciones unidas compartida de términos donde $x$ $y$ aparecen juntos. El diferencial será exacto si, y sólo si, al restar una parte integral de la otra, no es suficiente que la cancelación de las dos variables individuales términos (después de la manipulación algebraica) que el resultado puede ser expresado por la suma y la resta de $x$y $y$-sólo funciones. Si las integrales había sido $$xy^2 + \frac{x^2}{x+y} + 2y \quad \text{and} \quad xy^2 + \sin y + \frac{y^2}{x+y}$$ this can be reworked as $$(xy^2 + \frac{y^2}{x+y}) + [x-y] + 2y \quad \text{and} \quad (xy^2 +\frac{y^2}{x+y}) + \sin y $$ which is the intermediate case 2. New terms like the $(x-y)$ puede ser en el resultado final, que no se había visto en las integrales.

No hay más casos que son más generales o difícil, y esto se deduce de los cálculos en las otras respuestas, que enmarcan el problema como una opción de dos "constante término" funciones como $C_1(x)$$C_2(y)$. En los casos 1 y 2, las funciones representan las compartidos $x$ $y$ términos que están a la izquierda cuando uno integral se resta de los otros, y en el caso 3 de la misma para permitir la corrección de términos como (en el ejemplo) $[x - y]$.

El literal de la fusión da la respuesta equivocada en los casos 2 y 3. Caso 2 puede ser pre-procesados en el caso 1, donde mezcla hace el trabajo, mediante la eliminación de las funciones de $y$-sólo a partir de la $dx$ integral, y las funciones de $x$-sólo a partir de la $dy$ integral. Esto puede oscurecer la estructura algebraica de expresiones como $d(x+y)^3 = 3(x+y)^2 dx + 3(x+y)^2 dy$ o problemas en coordenadas polares donde $x^2+y^2$ es mejor no separatistas.