Ayuda con probar que $A^p \equiv A$ mod $p$ no significa que $A$ es diagonalizable

Question

Estoy trabajando en una matriz de extensión de Fermat Poco Teorema, pero estoy atascado en la que intenta demostrar que si $A^p \equiv A$ mod $p$, $A$ no tiene que ser diagonalizable.

Cualquier ayuda se agradece!

Edit:: me gustaría encontrar una razón por la $A$ no tiene que ser diagonalizable, o de alguna manera ser capaz de categorizar las matrices que son / no son diagonalizable en una forma que sugieren un patrón. Un ejemplo sería que si $A^p \equiv A$ mod $p$, $A$ es diagonalizable cuando xxx o no diagonalizable cuando xxx.

Answer 1

¿Qué piensa la gente en general de la generalización de Fermat Poco Teorema es la siguiente:

Deje $p$ ser el primer y $A\in GL_n(\mathbb{Z})$. A continuación, $tr(A^p)=tr(A)$ mod $p$ donde $tr(A)$ denota la traza de la matriz $A$. De hecho, esto es aún más general: $tr(A^{p^k})=tr(A^{p^{k-1}})$ mod $p^k$ cuando la primera instrucción es el caso de $k=1$

La primera declaración fue demostrado por V. I. Arnold (que también conjeturó el segundo). El segundo fue probada por Alexander Zarelua en 2008.

Answer 2

No ha sido claro sobre su campo base. Deje $k=\Bbb R$. Considere la posibilidad de $p=2$. A continuación, $\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}$ es congruente a su plaza modulo dos. Sin embargo, no es diagonalizable sobre $\Bbb R$, es decir, desde que es un bloque de Jordan.