¿Por qué la serie $\sum_{n=1}^∞ \ln ({n \over n+1})$ diverge? Y consejos generales acerca de la serie y el logaritmo

Question

¿Por qué la serie $\sum_{n=1}^∞ \ln ({n \over n+1})$ diverge? Estoy en busca de una respuesta mediante la prueba de comparación, es solo que no estoy seguro de lo que puedo comparar.

Y puedo tener algunos consejos sobre qué ver, cuando se manejo con series que tienen logaritmos en la expresión?

Gracias de antemano!

Answer 1

Tenemos $$\log\frac{n}{n+1}=\log n-\log (n+1)$$

Telescopio, el telescopio, el telescopio.

Alternativamente, $$\tag 1 \log\left(1+\frac{1}n\right)\sim\frac 1 n$$ as $n\to\infty$ clama por la prueba de comparación.

AGREGAR la recuperación (o demostrar) que $$\lim_{x\to 0}\frac{\log(1+x)}x=1$$

Esto significa $$\lim_{n\to \infty}\frac{\log\left(1+\frac{1}n\right)}{\frac1n}=1$$ que es lo que voy a escribir en $(1)$.

Answer 2

$\sum_{n=1}^m \ln ({n \más de n+1}) =\ln \prod_{n=1}^m ({n \más de n+1}) = \ln \frac{1}{m+1}$

y ya $\frac{1}{m+1} \to 0$ como $m \to =\infty$, $\ln \frac{1}{m+1} \to -\infty$ como $m \to \infty$.