Resolución de una EDO de primer orden no exacta

Question

Consideremos la ecuación diferencial implícita: $$(45y^3+33xy)dx+(50xy^2+18x^2)dy=0$$ Demuestra que $x^py^q$ es un factor integrador de esta ecuación, y encontrar los valores explícitos de $p$ y $q$ . A continuación, utilice el factor integrador para obtener una solución en forma implícita.

He aprendido sobre los dos casos especiales, donde el factor integrador puede ser una función de $x$ sólo o $y$ pero en este caso, ninguna de las dos cosas es cierta; por lo tanto, el factor integrador debe ser una función de ambas.

Sabemos que una EDO no exacta de la forma $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$ puede hacerse exacta si y sólo si $\frac{\partial}{\partial y}[\mu(x,y)M(x,y)]=\frac{\partial}{\partial x}[\mu(x,y)N(x,y)]$ , donde $\mu(x,y)$ es el factor integrador. Pero no sé cómo aplicar esta fórmula de forma más general, sin recurrir a los dos casos especiales. Cualquier ayuda se agradecería.

Answer 1

No hay ningún problema de principio en aplicar la fórmula que tú mismo das: Sólo hay que poner $\mu (x,y) \ = \ x^py^q$ y encontrar

$$ \partial_y(45x^py^{q+3} + 33x^{p+1}y^{q+1}) = \partial_x(50x^{p+1}y^{q+2} + 18x^{p+2}y^{q}) $$

que da

$$(3+q)45x^p y^{q+2} + (1+q)33x^{p+1}y^{q} \ = \ 50(p+1)x^p y^{q+2} + 18(p+2)x^{p+1}y^q \, .$$

Comparando los coeficientes se obtienen las dos ecuaciones lineales

$$ (3+q)45 \ = \ 50(p+1) $$

y

$$ (1+q)33 \ = \ 18(p+2) \, ,$$

cuya solución es $p \ = \ 3,5; q \ = \ 2$ Si no he cometido ningún error. Insertando esos valores, puede entonces elegir, si quiere integrar

$45x^{3,5}y^5 + 33x^{4,5}y^3$

con respecto a $x$ o

$50x^{4,5}y^4 + 18x^{5,5}y^2$

con respecto a $y$ para encontrar su función $f(x,y)$ cuyos conjuntos de niveles $f(x,y) \ = \ c$ constituyen las soluciones, si no recuerdo mal, hace bastante tiempo que lo hice.