Prueba de relación y L = 1

Question

Considere la serie $$\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(2n)!}{a^n(n!)^2}$$ avec $a > 0$ . Determine si la serie converge para:

i) a > 4

ii) 0 < a < 4

iii) a = 4

Para i) y ii), utilizaré la prueba de la proporción, $$\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{4}{a}$$

Por lo tanto, si $a > 4$ las series convergen y, si $0 < a < 4$ las series no.

iii) Si $a = 4$ Estoy un poco atascado. ¿Puede alguien darme algunos consejos? Gracias

Answer 1

Sus coeficientes son $${2n\choose n}\frac{1}{4^n}\ge \frac{1}{n+1}$$ donde ${2n\choose n}$ son coeficientes binomiales centrales y utilicé el límite ${2n\choose n}\ge \frac{4^n}{n+1}$ . Por tanto, por comparación con la serie armónica, ésta diverge.