Si $(a,b)=1$ Cómo encontrar el producto adecuado $u$ y $v$ tal que $(a+b)u+(a^2-ab+b^2)v=3$ ?

Question

Supongamos que $(a,b)=1$ . Quiero demostrar que $(a+b,a^2-ab+b^2)=1$ o $3$ .

Desde $(a,b)=1$ Así que $(a^2,b^2)=1$ y por lo tanto hay $x,y\in\mathbb Z$ tal que $a^2x+b^2y=1$ o $3a^2x+3b^2y=3$ y sumando y restando $3abx+3aby+3a^2y+3b^2x$ tenemos

$$\begin{align*}3a^2x+3b^2y&+3abx+3aby+3a^2y+3b^2x\\ &-3abx-3aby-3a^2y-3b^2x\\ &=(a-b)(3bx-3ay)+(a^2-ab+b^2)(3x+3y)=3 \end{align*}$$

lo que implica que $(a-b,a^2-ab+b^2)|3$ y así $(a-b,a^2-ab+b^2)=1$ o $3$ .

Pero todos mis intentos de encontrar la combinación adecuada para $a+b$ y $a^2-ab+b^2$ fallar. ¿Puede alguien ayudarme, por favor?

Answer 1

\begin{align}a^{2} - a b + b^{2} &= (a + b)(a - 2 b) + 3 b^{2} \\&= (a + b) (b - 2 a) + 3 a^{2}.\end{align} Esto se puede ver en primer lugar con respecto a $a^{2} - a b + b^{2}$ y $a + b$ como polinomios en $a$ y dividiendo $a^{2} - a b + b^{2}$ por $a + b$ . Y luego hacer lo mismo con respecto a ellos como polinomios en $b$ o simplemente por simetría.

Así que si $d \mid \gcd (a+b,a^2-ab+b^2)$ entonces $d \mid \gcd(3 a^{2}, 3 b^{2}) = 3 \gcd(a^{2}, b^{2})= 3$ .

Claramente se dan ambos casos, toma primero $a = b = 1$ y luego $a = 1$ , $b = -1$ .

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Si $a^{2} x + b^{2} y = 1$ entonces \begin{align} 3 &= 3 a^{2} x + 3 b^{2} y \\&= ((\color{red}{a^{2} - a b + b^{2}}) - (\color{blue}{a + b}) (b - 2 a)) x + ((\color{red}{a^{2} - a b + b^{2}}) - (\color{blue}{a + b})(a - 2 b)) y \\&= (\color{red}{a^{2} - a b + b^{2}})(x + y) + (\color{blue}{a + b}) (-(b-2a)x - (a - 2 b) y) \end{align}