Hola estoy tratando de calcular el valor esperado de $$ \mathbb{E}\big[x_i x_j...x_N\big]=\int_{-\infty}^\infty x_ix_jx_k...x_N \exp\bigg({-\sum_{i,j=1}^N\frac{1}{2}x^\top_i A_{ij}x_j}-\sum_{i=1}^Nh_i x_i\bigg)\prod_{i=1}^Ndx_i, $$ nota: estos son de orden superior a funciones de correlación para una Gaussiana generar funcional. También la matriz de $A_{ij}=A^\top_{ij}$ (real simétrica) y también es positiva definida, por lo tanto los autovalores de a $A_{ij}$ todas satisfacer $\lambda_i>0$. Nota la generación funcional está dada por $$ \mathcal{F}(h)=\int_{-\infty}^\infty \exp\bigg({-\sum_{i,j=1}^N\frac{1}{2}x^\top_i A_{ij}x_j}-\sum_{i=1}^Nh_i x_i\bigg)\prod_{i=1}^Ndx_i=\frac{(2\pi)^{N/2}}{\sqrt{\det A_{ij}}}\exp\big( \frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^N h_i A^{-1}_{ij}h_j\big) $$ donde solía $\det(A)=\prod_{i=1}^N \lambda_i$. Calculamos esta por encontrar el mínimo de la forma cuadrática $$ \frac{\partial}{\partial x_k}\bigg(\sum_{i,j=1}^{N} \frac{1}{2} x_i A_{ij} x_j-\sum_{i=1}^N h_i x_i \bigg)=\sum_{j=1}^{N} A_{kj}x_j - h_k=0. $$ Para solucionar esto tenemos que introducir la inversa de la matriz de $A$$A^{-1}$. Por lo tanto, podemos escribir la solución como $$ x_i=\sum_{j=1}^{N}^{-1}_{ij} h_j. $$ Ahora podemos hacer un cambio de variables $x_i \mapsto y_i$ obtener $$ x_i=\sum_{j=1}^{N} K^{-1}_{ij}h_j+y_i. $$ Re-escritura de la $\mathcal{F}(h)$ obtenemos $$ \mathcal{F}(h)=\exp\bigg(\sum_{i,j=1}^{N} \frac{1}{2} h_i A^{-1}_{ij} h_j\bigg)\int_{-\infty}^\infty d^Ny \exp\bigg(-\sum_{i,j=1}^{N} \frac{1}{2} y_i A_{ij}y_j \bigg). $$ Esta integral es ahora un simple gaussiano que nos diagonalize por una transformación ortogonal $A=O\lambda_i\delta_{ij}O^\top$ y un cambio lineal de variables $x=Oy$. El Jacobiano de la transformación es la unidad desde una rotación deja el volumen invariante. Escribimos el resultado general como \begin{equation} \mathcal{F}(h)=\big({2\pi}\big)^{N/2} (\det A_{ij})^{-1/2} \exp\left(\sum_{i,j=1}^{N} \frac{1}{2} h_i A^{-1}_{ij} h_j\right). \end{equation} Habiendo calculado esto, ahora tenemos que calcular el valor esperado de los momentos de orden superior que es lo que mi pregunta es.
Nota en 1 dimensión, el valor esperado estoy tratando de calcular es similar a la $$ \int_{-\infty}^\infty x^{n} e^{-x^2/2-\alpha x}dx,\quad \Re(n)>-1, \alpha\in \mathbb{R}. $$ He encontrado un orden inferior de los valores esperados dada por $$ \big<x_i\big>=A^{-1}_{ij}h_j ,\quad \big<x_i x_j\big>=A^{-1}_{ik} h_k A^{-1}_{jl}h_l+A^{-1}_{ij}, $$ pero estoy tratando de generalizar a órdenes superiores.
