¿Qué relación hay entre estas integrales?

Question

Lo sé. $$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln(\sin x)dx=-\frac{\pi}{2}\ln(2)$$ ¿Cuál es la relación entre ella y $$\int_{-\infty}^{\ln(4)}\frac{xe^x}{\sqrt{4e^x-e^{2x}}}dx$$ Por favor, guíenme. Tengo dieciséis años ¿Por qué debemos usar $e^x=4t$

Answer 1

Set $t=\frac{e^x}{4}$ o $e^x=4t$ Por lo tanto $4dt=e^x dx$

como $x\to-\infty$ entonces $t\to 0$ como $x\to\ln(4)$ entonces $t\to 1$ tenemos

$$I=\int_{-\infty}^{\ln(4)}\frac{xe^x}{\sqrt{4e^x-e^{2x}}}dx=\int_{0}^{1}\frac{\ln(4t)}{\sqrt{16t-16t^2}}4dt=\int_{0}^{1}\frac{\ln(4)+\ln(t)}{\sqrt{t-t^2}}dt$$ $$I=\ln(4)\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{t-t^2}}dt+\int_{0}^{1}\frac{\ln(t)}{\sqrt{t-t^2}}dt$$ Ahora, ponte $t=\sin^2(\theta)$ $$\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{t-t^2}}dt=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin 2\theta}{\sqrt{\sin^2\theta\,\cos^2\theta}}d\theta=\pi\tag 1$$ de forma similar $$\int_{0}^{1}\frac{\ln(t)}{\sqrt{t-t^2}}dt=4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln(\sin\theta)d\theta=\color{red}{-2\pi \ln(2)}=-\pi \ln(4)\tag 2$$ $(1)$ y $(2)$ $$I=0$$ En efecto, $$\int_{-\infty}^{\ln(4)}\frac{xe^x}{\sqrt{4e^x-e^{2x}}}dx=4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln(\sin x)dx+\ln (4)\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}2 dx$$