Punto de singularidad de un múltiple de Riemannian con curvatura acotada

Question

Supongamos que usted tiene una incompleta de Riemann colector con delimitada de la sección transversal de la curvatura tal que su culminación como un espacio métrico es el colector más un punto adicional. ¿La de Riemann colector de estructura extienden a través del punto de singularidad?

(Penny Smith y yo escribí un artículo sobre esto hace muchos años, pero hemos tenido que asumir que no arbitrariamente corto cerrado geodesics existía en un barrio de la singularidad. Nunca he sido capaz de averiguar cómo deshacerse de este supuesto, y todavía le gustaría a alguien mejor en la geometría de Riemann que me explique cómo. O me muestre un contraejemplo.)

EDIT: Por simplicidad, se asume que la dimensión del colector es mayor que 2 y que en cualquier barrio de la singularidad, existe un pequeño perforado barrio de la singularidad de que es simplemente conexa. En la dimensión 2, usted tiene que reemplazar esta hipótesis mediante un adecuado holonomy condición.

EDIT 2: Vamos a hacer la suposición de arriba más sencillo y claro. Asumir la dimensión mayor que 2 y que para cualquier r > 0, existe 0 < r < r, tal que el perforado geodésica de la bola B(p,r'){p} es simplemente conexa, donde p es el punto singular. El se opone a la posibilidad de un orbifold singularidad.

COMENTARIO ADICIONAL: Mi acercamiento a esta fue la construcción de un diferenciable de la familia de las geodésicas de los rayos que emanan de la singularidad. Una vez tengo esto, entonces es muy sencillo de usar campos de Jacobi para mostrar que esta familia debe ser naturalmente isomorfo a la unidad estándar de la esfera. A continuación, utilizando lo Jost y Karcher llamada "casi lineal de coordenadas", es fácil construir un C^1 coordinar gráfico en un barrio de la singularidad. (Para leer el periódico. Nada es difícil.)

Pero yo era incapaz de construir esta familia de geodesics sin el "no pequeña geodésica bucle" de asunción. Para mí esto es demasiado fuerte suposición de que es esencialmente equivalente a asumir de antemano que diferenciable de la familia de geodesics existe. Así que encontrar nuestro resultado ser totalmente insatisfactorio. No veo por qué esta suposición debe ser necesaria, y aún creo que debe haber una manera fácil de mostrar esto. O debe haber un contraejemplo.

Tengo que decir, sin embargo, que estoy bastante seguro de que hice consultar a uno o dos bastante distinguido de Riemann geómetras y no fueron capaces de proporcionar cualquier información útil sobre este.

Answer 1

Una vez se consideró un problema similar, pero alrededor del infinito, trate de buscar en nuestro papel "Asymptotical y la planitud de la estructura del cono en el infinito".

Nos deja denotar por $r$ la distancia del punto singular. Si las dimensiones de $\not= 4$, a continuación, el mismo método que se muestra que en el punto singular hemos Euclidiano tangente cono incluso si la curvatura es "mucho menos" de $r^{-2}$ (decir si $K=O(\tfrac{1}{r^{2-\varepsilon}})$ algunos $\varepsilon>0$, pero se puede hacer poco más débil).

En la dimensión 4 podría haber algunos divertidos ejemplos: Su singular punto el espacio de la tangente $\mathbb R^3$, el $r$-esferas alrededor de este punto se Berger esferas, por lo que su curvatura es muy parecida a la curvatura de $r\cdot(S^2\times \mathbb R)$, el tamaño de Hopf fibras va a $0$ muy rápido. Sin embargo, si usted sabe que la dimensión del espacio de la tangente es$4$, entonces tiene que ser Euclidiana.

Todo esto puede suceder si la curvatura crece lentamente. Si es limitada, a continuación, se puede extender el Obispo--Gromov tipo de desigualdad para las bolas alrededor del punto singular. Esto implica que la dimensión del espacio de la tangente es $4$. Que va a terminar la prueba.

Answer 2

Tomar un cono sobre un cociente finito S ^ {2n-1} / \Gamma. La curvatura es de 0, pero la estructura múltiple no llega aún. (Más en general, usted puede tomar el cono sobre cualquier Einstein compacto múltiple de dimensión n-1 con n-2 constante de Einstein.)

Answer 3

Aquí es lo que parece ser un contraejemplo. Que (M, g) ser un múltiple de Riemannian cerrado conectado simplemente. Entonces M veces (0, infinito) con el dr métricas de producto deformado ^ 2 + r ^ 2 g ha limitado curvatura y la terminación en r = 0 es un punto. Si la métrica es lisa, entonces M es diffeomorphic a una esfera, por lo que cualquier otro M da un contraejemplo.

EDIT: Lo sentimos, esto no funciona como curvatura hace saltar a cero a menos que g tiene curvatura constante 1.

Answer 4

Si por "se extiende a través del punto de singularidad" que significa que se extiende suavemente, luego, yo creo que se podría comenzar con el espacio Euclidiano pensado como un producto warped (0,infinito) con esfera de fibra y reemplazar la deformación de la función r por cualquier liso de la función f(r) que está cerca de r en C^2-topología. Entonces la curvatura no va a cambiar mucho, mientras que para la métrica para ser suave en el origen f debe satisfacer la consistencia de las condiciones en las alturas de los derivados de f en r=0, que seguramente será violado por casi todos los f. La consistencia condiciones son similares a los que se puede encontrar por ejemplo en Peterson's book, página 13 (en la primera edición).

Podría ser posible construir un múltiplo deformado ejemplo de producto en los que el enlace en el punto singular no es una esfera, pero no soy lo suficientemente motivado para realizar el cálculo. Fórmulas útiles para el tensor de curvatura de múltiples deformado productos se pueden encontrar en mi papel arXiv:0711.2324 en el apéndice C.

Answer 5

¿Qué pasa si tratas de una familia de triángulos, paralelas a algunas s.t. dos direcciones su unión contiene singularidad? ¿(Como tetraedr para n = 3)? Entonces su geometría (ángulos, lados, etc.) se controlan desde "fuera" de la singularidad, por lo que todos ellos han delimitado uniformemente cirvature - incluyendo aquél que contiene la singularidad. Deje que el tamaño va entonces a cero. ¿Significa que el plano tangente se define en singularidad y es R ^ n y así sucesivamente...?