¿Caminar al azar como una martingala?

Question

Deje que $S_0$ , $Z_1$ , $Z_2$ , $ \ldots $ ser variables aleatorias independientes. $S_n=S_0+Z_1+ \cdots +Z_n$ , $n=0,1,2, \ldots $

$S_n$ es una caminata al azar que comienza en un punto al azar, $S_0$ Necesito averiguar, cuando es una martingala.

¿Es suficiente para mostrar, que $E(S_{n+1}| \mathcal F_n)=S_n$ ? ¿"Averiguar cuándo" se refiere a la filtración?

Answer 1

La definición de martingala tiene tres elementos. Una secuencia $(X_n)_{n \geq 1}$ se dice que es martingala con respecto a una filtración $( \mathcal {F}_n)_{n \geq 1}$ si

• $(X_n)_{n \geq 1}$ se adapta a $( \mathcal {F}_n)_{n \geq 1}$ es decir. $X_n$ es $ \mathcal {F}_n$ -Medido para cada uno $n$ ,
• $X_n$ es integrable, es decir. ${ \rm E}[|X_n|]< \infty $ para cada uno $n$ ,
• y $X_n$ satisface la condición de martingala, es decir. ${ \rm E}[X_{n+1} \mid\mathcal {F}_n]=X_n$ para cada uno $n$ .

Así que para que respondas a la pregunta de cuándo $(S_n)_{n \geq 1}$ es una martingala que necesitas para dirigir las dos primeras balas primero. Por lo tanto, asumamos que todas las variables son integrables, y que la filtración con la que estamos trabajando es de hecho la filtración natural, es decir. $$ \mathcal {F}_n= \sigma (S_0,Z_1, \ldots ,Z_n), \quad n \geq 1. $$

Entonces tienes razón en que sólo tienes que mostrar cuando ${ \rm E}[S_{n+1} \mid\mathcal {F}_n]=S_n$ para todos $n$ . Has calculado correctamente que $$ { \rm E}[S_{n+1} \mid\mathcal {F}_n]={ \rm E}[S_n \mid\mathcal {F}_n]+{ \rm E} [Z_{n+1} \mid\mathcal {F}_n]=S_n+{ \rm E}[Z_{n+1} \mid\mathcal {F}_n] $$ y por lo tanto ${ \rm E}[S_{n+1} \mid\mathcal {F}_n]=S_n$ si y sólo si ${ \rm E}[Z_{n+1} \mid\mathcal {F}_n]=0$ . Todo lo que queda es reconocer ${ \rm E}[Z_{n+1} \mid\mathcal {F}_n]$ como ${ \rm E}[Z_{n+1}]$ debido a la independencia entre $Z_{n+1}$ y $ \mathcal {F}_n$ .