Pregunta: "Buscar todos los x tales que ${\frac{x-a}{b}}+{\frac{x-b}{a}}={\frac{b}{x-a}}+{\frac{a}{x-b}}$ , donde a y b son constantes."
Mi intento:
${\frac{x-a}{b}}+{\frac{x-b}{a}}={\frac{b}{x-a}}+{\frac{a}{x-b}}$
Deje $m=x-a$ ,Vamos A $w=x-b$ . Por lo tanto:
${\frac{m}{b}}+{\frac{w}{a}}={\frac{b}{m}}+{\frac{a}{w}}$
${\frac{m}{b}}-{\frac{b}{m}}={\frac{a}{w}}-{\frac{w}{a}}$
${\frac{m^2-b^2}{bm}}={\frac{a^2-w^2}{aw}}$
${\frac{(m+b)(m-b)}{bm}}={\frac{(a+w)(a-w)}{aw}}$
La sustitución de la espalda $m=x-a$ , $w=x-b$ :
${\frac{(x-a+b)(x-a-b)}{b(x-a)}}={\frac{(a+x-b)(a-x+b)}{a(x-b)}}$
Factorizando $-1$$(a-x+b)$:
${\frac{(x-a+b)(x-a-b)}{b(x-a)}}={\frac{-(a+x-b)(x-a-b)}{a(x-b)}}$
Dividiendo por $(x-a-b)$:
${\frac{(x-a+b)}{b(x-a)}}={\frac{-(a+x-b)}{a(x-b)}}$
Cruz multiplicando:
$(x-a+b)(ax-ab)=(-x-a+b)(bx-ab)$
La distribución;
$ax^2-abx-a^2x+a^2b+abx-ab^2=-bx^2+abx-abx+a^2b+b^2x-ab^2$
$ax^2-a^2x+a^2b-ab^2=-bx^2+a^2b+b^2x-ab^2$
$ax^2-a^2x+a^2b-ab^2-(-bx^2+a^2b+b^2x-ab^2)=0$
$ax^2+bx^2-a^2x-b^2x=0$
$(a+b)x^2-(a^2+b^2)x=0$
Factorizando $x$:
$x[(a+b)x-(a^2+b^2)]=0$
Por lo tanto:
$x=0$
o
$(a+b)x-(a^2+b^2)=0$
$(a+b)x=(a^2+b^2)$
$x=\frac{(a^2+b^2)}{(a+b)}$
Mis dos soluciones se $x=0$$x=\frac{(a^2+b^2)}{(a+b)}$; sin embargo, me estoy perdiendo la solución de $x=a+b$. ¿Dónde puedo eliminar esta solución? ¿Cómo puedo evitar que esto suceda (la eliminación de las soluciones) en el futuro? Hay una mejor manera de resolver esta ecuación?
