¿Cuáles son las distribuciones de muestreo de los más altos momentos de la distribución normal?

Question

Deje $X_i$ ser independientes, variables aleatorias distribuidas normalmente, para $1\leq i\leq N$. ¿Cuál es la distribución de $Y_m=\frac1 N \sum_{i=1}^N X_i^m$?

Cada estudiante de secundaria sabe que parte de la respuesta. La media de $Y^m$ $m$'th momento de la distribución normal, y la varianza de la $Y^1$$1/N$. Estoy interesado en la anchura de la distribución de $Y^m$. ¿Cómo funciona su varianza de la escala con el tamaño de la muestra $N$? (Es la varianza de una medida útil?) Estoy especialmente interesado en la gran muestra de límite, con m un entero pequeño. Saber dónde buscar sería útil.

Answer 1

Estoy interesado en la anchura de la distribución de $Y_m$. ¿Cómo funciona su varianza de la escala con el tamaño de la muestra $N$?

$\text{var}(X_i^m) = E[X_i^{2m}] - (E[X_i^m])^2$ es fácilmente evaluados desde el momento de generación de la función $\exp(\sigma^2t^2/2 + \mu t)$ de la $N(\mu, \sigma^2)$ variable aleatoria $X_i$ (o de la función característica, como se sugiere en el comentario por mpiktas). Desde esta variación no depende de $i$, deje que nos denota por $\text{var}(X^m)$. Entonces, puesto que el $X_i^m$'s son variables aleatorias independientes (que son funciones de variables aleatorias independientes), tenemos $$\text{var}(Y_m) = \text{var}\left(\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N X_i^m\right) = \frac{1}{N^2}\left(\sum_{i=1}^N \text{var}(X_i^m)\right) = \frac{1}{N}\text{var}(X^m)$$ Tenga en cuenta que la muestra de la ecuación anterior no requiere que el $X_i$ ser normal de las variables aleatorias. Porque yo.yo.d. variables aleatorias $Z_i$ (con un límite segundo momento), el la varianza de $N^{-1}\sum_i Z_i$, el promedio de $N$ variables, es siempre $N^{-1}\text{var}(Z)$, que es la varianza siempre como las escalas de $1/N$. Para el general de las distribuciones, la desigualdad de Chebyshev puede ser utilizado para obtener una débil límite en el ancho de la distribución. Ver aquí para una discusión relacionada con.