Es la diagonal de morfismos de esquemas el resultado de un cambio de base?

Question

En general, si $f : X \to Y$ es una de morfismos de esquemas, entonces es cierto que la diagonal de morfismos $\Delta : X \to X \times_Y X$ es el resultado de algunos de extensión de base de $f$?

Específicamente, yo estaba en la idea de que, dado $X \times_Y X$ es un esquema sobre $Y$, tendríamos que $X$ satisface el universal producto de fibra de propiedades con las proyecciones de $id: X \to X$$\Delta : X \to X \times_Y X$. Pero trabajar a través de los diagramas conmutativos, este no parece ser el caso, a menos que podía suponer por ejemplo, $f$ es un monomorphism.

Answer 1

Esto no es posible en general. Deje $Y = \operatorname{Spec} \mathbb Z$ ser el objeto final.

Si hubo un diagrama cartesiano $$\require{AMScd} \begin{CD} X @>>> X\\ @V{\Delta}VV @V{f}VV \\ X \times_{Y} X @>>> \operatorname{Spec} \mathbb Z \end{CD}$$ tendríamos $$\operatorname{Hom}(-,X) = \operatorname{Hom}(-,X \times_{Y} X) \times \operatorname{Hom}(-,X) = \operatorname{Hom}(-,X) \times \operatorname{Hom}(-,X) \times \operatorname{Hom}(-,X)$$ , lo cual es absurdo para la mayoría de las opciones de $X$.