Intuición del producto de punto

Question

Estoy buscando a desarrollar la intuición (en lugar de la memorización) en la relación de las dos formas de un producto escalar (por un ángulo theta entre los vectores y las componentes del vector ).

Por ejemplo, supongamos que tengo vector $\mathbf{a} = (a_1,a_2)$ y el vector $\mathbf{b}=(b_1,b_2)$. ¿Qué es la física o geométrica, lo que significa que

$$a_1b_1 + a_2b_2 = |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos(\theta)\;?$$

¿Por qué es multiplicar $|\mathbf{b}|$ veces $|\mathbf{a}|$ en la dirección de la $\mathbf{b}$ el mismo que multiplicar la primera y segunda componentes de $\mathbf{a}$ $\mathbf{b}$ y sumando ?

Sé que esta relación viene cuando hacemos uso de la ley de los cosenos para probar, pero incluso entonces no puedo conseguir una intuición en esta relación.

Esta imagen se aclara mi duda:

Gracias

Answer 1

He encontrado una prueba razonable usando coordenadas polares. Permite suponer el punto "$a$" puntos es $(|a|\cos(r)$, $|a|\sin(r) )$ y los puntos de punto vector '$b$' es ($|b|\cos(s),|b|\sin(s)$). Entonces haciendo la definición de producto escalar que tenemos:

$a\cdot b = |a||b|\cos(r)\cos(s) + |b||a|\sin(r)\sin(s) = |a||b|\cos(r - s)$. $\cos(r-s) = \cos(\theta)$ Donde theta es el ángulo entre los vectores.

So, $a\cdot b = |a||b|\cos(\theta)$.

Answer 2

Dicen que usted tiene un triángulo con una hipotenusa de longitud $c$ en el avión. La hipotenusa se inicia en (0,0) y entra en el plano en ángulo $\alpha$.

Su coordenada x $b$, es igual a $||c||\cos(\alpha)$. Recuerde que $\cos(\alpha)\in[-1,1]$, por lo que usted puede pensar acerca de $||c||\cos(\alpha)$ como la fracción de la longitud de $c$ que apunta en la dirección horizontal.

Ahora toma el producto escalar de a $c\cdot b=(\,\,||c||\cos(\alpha)\,\,)||b||$. Usted está tomando la parte de $||c||$ que apunta en la misma dirección como $||b||$ y el uso que para multiplicar con $||b||$.

Para ver que esto también funciona al $b$ no es coincidente con el eje de las x, de clavar un alfiler en el $\alpha$-de la esquina y girar el triángulo.

Yo (al menos) creo que esto tiene sentido, dos vectores tienen su propia longitud y sus propias direcciones diferentes, lo que significa que los vectores " longitud "distribuido" de manera diferente en cada dirección. Si queremos multiplicar dos vectores como es que ellos fueron los números, multiplique la longitud que tienen en común.

Así que, ¿por qué la igualdad de $c_1b_1+c_2b_2$? Debido al teorema de Pitágoras.

Digamos que usted tiene dos vectores, $v$$v'$. En el caso de que $v=v'$,$v_1v'_1+v_2v_2'=||v|| \,||v'||\cos(0)\,\,\Leftrightarrow\,\, v_1^2+v_2^2=||v||^2$, este es el familiar de los cuadrados de los lados igual al cuadrado de la hipotenusa.

Si usted desea ser un poco grosero, usted puede pensar de $a_1b_1+a_2b_2=||a|| \,||b||\cos(\theta)$ como el teorema de Pitágoras para cuando se divide la hipotenusa en diferentes vectores, $\cos(\theta)$, entonces se convierte en un factor de descuento para la pérdida de la "dirección compartida" de su 'dos hipotenusas'.

Answer 3

La equivalencia entre las dos definiciones viene directamente del teorema de pitágoras, para que la longitud de un vector es: $$|v|=\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2},$$ donde $v_i$ son las coordenadas respecto a algunos ortonormales (la palabra "algunos" aquí es importante).

Para ver esto, vamos a $\cal V^3$ ser el espacio geométrico de los vectores y $\cal B=${$e_1,e_2,e_3$}, $\cal B'$={$e'_1,e'_2,e'_3$} dos ortonormales base de $\cal V^3$. Tome $u,v\in \cal V ^3$. Para mostrar la equivalencia entre las dos definiciones, la primera vez que voy a mostrar que la expresión $$u\cdot v=\sum u_iv_i$$ does not depend on the choice of a basis. Since the lenght of a vector does not depend on which set coordinates we use to evaluate it, we have: $$v _1 ^2+v _2 ^2+v _3 ^2=|v|^2=v _1' ^2+v _2' ^2+v _3' ^2,$$ donde $v_i,v_i'$ son las coordenadas respecto a $\cal B$$\cal B'$, y el mismo resultado se tiene para $u$. Ahora: $$\sum (u_i^2 +v_i^2)+\sum 2u_iv_i=\sum (u_i+v_i)^2=|u+v|^2$$

así que: $$\sum (u_i^2 +v_i^2)+\sum 2u_iv_i=\sum (u_i'^2 +v_i'^2)+\sum 2u_i'v_i',$$ y por último: $$\sum u_iv_i=\sum u_i'v_i'.$$ Así que podemos elegir libremente $\cal B$ a evaluar $u\cdot v$ y tome $e_1=\frac{v}{|v|}$. Esto completa la prueba.

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Si usted se siente cómodo con algunos de álgebra lineal, se puede observar que la función que se asigna a las coordenadas $y$ $u$ $x$ $v$ respecto al $\cal B$ en las que el respeto a $\cal B'$ es lineal y dado por una matriz ortogonal. Así: $$y^Tx=y^T (A^T A)x=(y^T A^T)(Ax)=y'^Tx'.$$