Evaluando $ \sum_ {i=a+1}^{N} \frac {i(i-1)}{i-a}$

Question

Estoy tratando de resolver el problema de los tanques alemanes. Puede haber muchas maneras de encontrar el valor esperado de N. Sin embargo, de la forma en que estoy procediendo, necesito encontrar esta suma. Sin embargo, estoy atascado en ella.

$$ \sum_ {i=a+1}^{N} \frac {i(i-1)}{i-a}$$

Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Tenemos

\begin {alinear} \sum_ {i = a+1}^N \frac y \sum_ {i = a+1}^N \frac (i - a) + a) (i - 1)} (i - a) \\ &= \sum_ {i = a+1}^N \left (1 + \frac {\a}{\i - a} \right )(i - 1) \\ &= \sum_ {i = a+1}^N \left (1 + \frac {\a}{\i - a} \right )((i - a) + (a - 1)) \\ &= \sum_ {i = a+1}^N \left [((i - a) + a) + \left (a - 1 + \frac {\i1}{\b1}{\b1}{\b1}{\b1}A-1} \right ) \right ] \\ &= \sum_ {i = a+1}^N (i + a - 1) + \sum_ {i = a+1}^N \frac a(a-1)} {\a-1} \\ &= \sum_ {i = 1}^{N-a} (i + 2a - 1) + \sum_ {i = 1}{N-a} \frac a(a-1)} {y:i} \\ &= \frac {(N-a)(N-3a-1)}{2} + a(a-1)H_{N-a} \end {alinear}

donde $H_k$ denota el $k$ número armónico.

Answer 2

Mathematica 9.0 da:

$$(1/2)(a^2(-3 + 2 \gamma ) + N(N-1 + N) + a(1 - 2 \gamma + 2N) + 2a(a-1) \psi (0, 1 - a + N))$$

Donde $ \gamma $ es la constante gamma de Euler y $ \psi $ es la función poligámica.