Matriz lineal del operador.

Question

Si $f:P_2[x] \rightarrow \mathbb{M}_{2x2}(\mathbb{R})$ se define como la asignación de $f(a + bx + cx^2)=\begin{bmatrix} b+c & a \\ b & c \end{bmatrix}$. Determinar es este operador lineal, y si lo es, determinar es la matriz de la matriz si la base es $(1,x,x^2)$, y a continuación, determinar es la matriz si la base es $(\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix})$, y, a continuación, encontrar la dimensión y una base de $Imf$$Kerf$.

Es muy fácil comprobar si este es lineal operador $ f(x+y)=f(x) + f(y)$ $f(\alpha x)=\alpha f(x)$ ya que esto es cierto para nuestra cartografía, significa que es lineal operador. Cuando se trata de encontrar la matriz de representación, es relativamente fácil en el primer caso, donde la base es $(1,x,x^2)$, luego $f(1)=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = (0,1,0,0)$, $f(x)=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = (1,0,1,0)$, $f(x^2)=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = (1,0,0,1)$, lo que significa que la representación de la matriz de operador lineal cuando la base de la es $(1,x,x^2)$ $F=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

En el segundo caso se da con los vectores de codominio, no sé cómo formar una matriz cuando he base con codominio vectores. ¿Que se puede hacer?

Answer 1

Dado lineal mapa de $f \colon V \rightarrow W$ entre los dos finito dimensionales espacios vectoriales, con el fin de representar a $f$ por una matriz deberá proporcionar una ordenó base $\mathcal{B} = (v_1, \dots, v_n)$ $V$ y ordenó una base $\mathcal{C} = (w_1, \dots, w_m)$$W$. La matriz $[f]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}$ es la matriz cuyas $i$-ésima columna es el vector coordenado $[fv_i]_{\mathcal{C}}$ representa el vector $fv_i$ con respecto a la base $\mathcal{C}$. Si $V = W$, a menudo uno sólo proporciona una base $\mathcal{B}$ con el entendimiento implícito de que $\mathcal{B}$ deben ser utilizadas tanto para el dominio y el co-dominio.

En su caso, $V \neq W$, por lo que no hay ningún significado en la petición de la representación de la matriz de $f$ con respecto al $\mathcal{B}$, sin especificar a qué base $\mathcal{C}$$W$. Del mismo modo, no tiene sentido preguntar por la representación de la matriz de $f$ con respecto al $\mathcal{C}$ sin especificar $\mathcal{B}$.

El uso de ambas bases, hemos

$$ f(1) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \implica [f(1)]_{\mathcal{C}} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \\ f(x) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \implica [f(x)]_{\mathcal{C}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \\ f(x^2) = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \implica [f(x^2)]_{\mathcal{C}} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$$

y así

$$ [f]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}} = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. $$

Claramente las tres columnas de $[f]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}}$ son linealmente independientes, y por lo tanto $3 = \operatorname{rank} [f]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}} = \dim \operatorname{im}(f)$$\dim \ker(f) = 0$. Desde $([f(1)]_{\mathcal{C}}, [f(x)]_{\mathcal{C}}, [f(x^2)]_{\mathcal{C}})$ son linealmente independientes en $\mathbb{R}^3$, esto significa que $(f(1), f(x), f(x^2))$ son linealmente independientes en $W$, por lo que constituyen una base para $\operatorname{im}(T)$.