Se comenzó por el camino adecuado para reducir la lista. Voy a tratar de resumir el resto. (Lo siento por cambiar de lado, pero es más fácil escribir las matrices de látex para el derecho de los ideales que tengo en mente. Te quedan ideales si usted transponer todo, por supuesto.)
Si consideras $M_3(\Bbb F_2)$ por un momento, podemos hacer algunas clasificación de los mínimos de derecho ideales. Considerar los ideales de las siguientes formas:
$$
I_{1,\alpha,\beta}=\{\begin{bmatrix}a&b&c\\\alpha a&\alpha b&\alpha c\\\beta a&\beta b&\beta c\\\end{bmatrix}\mediados de los a,b,c\in\Bbb F_2\}
$$
$$
I_{2,\alpha}=\{\begin{bmatrix}0&0&0\\ a&b&c\\ \alpha a&\alpha b&\alpha c\end{bmatrix}\mediados de los a,b,c\in\Bbb F_2\}
$$
$$I_3=\{\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\ a&b&c\end{bmatrix}\mid a,b,c\in\Bbb F_2\}$$
Esto explica por siete diferentes mínima ideales. En cada caso, cada uno es único de la forma $eR$ para algunos idempotente $e$ donde $(1-e)R$ es un complemento (y necesariamente máximo) ideal de derecho. Podemos concluir que los complementos son todos distintos, conduciéndonos al menos 14 derecho ideales (demasiados!).
Desde cualquier otro campo tendría aún más ideales, podemos decir con seguridad que sólo tenemos que concentrarnos en $n=2$. Allí, el mimimal derecho ideales son también la máxima derecho ideales, y son todos los que no son triviales derecho ideales, y todos ellos son de 2 dimensiones.
Ahora para cualquier campo, los conjuntos de las siguientes formas son triviales derecho ideales:
$$I_\alpha=\{\begin{bmatrix}a&b\\\alpha a&\alpha b\end{bmatrix}\mid a,b\in\Bbb F\}$$
$$I'=\{\begin{bmatrix}0&0\\a&b\end{bmatrix}\mid a,b\in \Bbb F\}$$
Podemos razón por la que estos son todos los ideales no triviales de la siguiente manera. Cada matriz en un trivial ideal de derecho debe ser distinto de cero, pero noninvertible, por lo que sus filas debe ser linealmente dependiente. Dado un determinado ideal de derecho $K$, tendremos que comprobar para ver si tiene elementos que son distintos de cero en la fila superior. Si no, es $I'$. Si lo hace, entonces tomar un elemento distinto de cero en la primera fila $r_1$, y encontrar los escalares $\alpha$, lo que hace que $\alpha r_1=r_2$. Por lo tanto $K$ ha trivial intersección con $I_\alpha$, por lo tanto es igual.
Este análisis muestra que las $M_2(\Bbb F_q)$ $q+1$ trivial derecho ideales. Esto significa que la matriz de anillos para $q\in\{2,3,4,5,7,8,9,11\}$ son una lista exhaustiva de los simples anillos con no más de 12 derecho propio ideales, pero al menos un derecho propio ideal. Doce suceder en $M_2(\Bbb F_{11})$. Y, por último, se puede ver que ninguna de las posibilidades que permiten a los 11 trivial derecho ideales.
