Acabo de empezar a leer las Categorías y las Poleas y se dio cuenta que el libro de la definición de una categoría requiere la colección de objetos de una categoría a ser un conjunto. Sin embargo, en otras experiencias, yo he oído que el conjunto de objetos de una categoría también puede ser una clase. Así, en el primero, la categoría de conjuntos no contiene todos los conjuntos (pero en vez de eso, algunas colección de conjuntos que viven en un universo conjunto), mientras que en el segundo, la categoría que contiene todos los conjuntos. Presumiblemente, requiriendo sólo de la colección de objetos a ser una clase, se puede aplicar la categoría de la teoría a la mayor colección de estructuras matemáticas. ¿Cuál es una posible razón para esta aparente discrepancia en las definiciones? Siguiendo el libro de la definición, voy a estar perdiendo algo?
Respuesta
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El libro que usted menciona utiliza, como su subyacentes de la teoría de conjuntos, una versión de Zermelo-Fraenkel de la teoría de conjuntos con un universo. (No tengo el libro, y la página más relevante, a saber, página 11, se omite en el Google vista previa en su enlace, pero la parte inferior de la página 10 indica que la página 11 introducirá a los universos.) El punto de universos es permitir que usted para el tratamiento adecuado de la clase de tamaño de las cosas como juegos, y por lo tanto para tener incluso más grandes conjuntos disponibles. Más precisamente, dado un universo $U$, tenemos los siguientes "traducción" de la lengua habitual de la clase de teoría de conjuntos (como el de von Neumann - Bernays-Goedel la teoría de conjuntos o de Morse-Kelley teoría de conjuntos --- con juegos más adecuada de clases, donde el último puede no ser elementos de cualquier cosa) para el lenguaje de una teoría de conjuntos con un universo $U$. Los conjuntos de una clase de teoría de conjuntos corresponden a los elementos de $U$. Las clases de una clase de teoría de conjuntos corresponden a los subconjuntos de a $U$. (No hay nada en la clase de teoría de conjuntos que corresponden a más de conjuntos, como las familias de subconjuntos de a $U$.) Yo creo que, si se utiliza esta traducción, usted encontrará que la clase de conjunto de presentaciones que te has encontrado anteriormente, coinciden con el universo al estilo de las presentaciones en el libro que mencionas.
