Función 1: Rotación en sentido horario con calentamiento

Question

El programa de instalación

Deje $\Sigma_t$ ser el momento en el $t$ positivo-definida matriz de covarianza de algunos $N$-dimensiones aleatorios vectoriales $X_t$. Denotar $\Sigma_t = P_t \Lambda_t P_t$ ser el espectral/eigen-descomposición de esta matriz de covarianza. Hay $N + {N \choose 2} = N(N+1)/2$ libre de elementos en la matriz. Hay $N$ positivo autovalores, y el resto, en los vectores propios.

Preguntas

Me pregunto cómo una rotación de Givens matrices de "aislar" la ${N \choose2}$ "libre" de los elementos de los vectores propios. Un artículo que estoy leyendo dice:

Además de escribir cada una de las $P_t$ como producto de la $N(N-1)/2$ rotación de Givens matrices de $P_t = \Pi_{i<j}G_{ij}(\omega_{i,j,t})$...

1. ¿Cómo debo visualizar o entender la $N(N-1)/2$ libre de elementos de $P_t$ antes de los Supuestos de transformación. Probablemente algo que ver con restricciones de ortogonalidad, ¿verdad?
2. ¿Cómo puedo visualizar o entender lo que las rotaciones de Givens están haciendo? Me imagino que el trazado de cada $w_{i,j,t}$ frente al tiempo $t$ conduce a algo de aspecto agradable.

Answer 1

@ameba comentario de respuestas la primera cosa pregunta. Esto es todo por el segundo. Vamos a suprimir todos los de la mención de $t$. Elemento $(k,l)$ de un Givens matriz $G_{i,j} \in \mathbb{R}^{N \times N}$ puede ser escrito como $$G_{i,j}[k,l] = \begin{cases} \cos(\omega_{i,j}) & i=j \text{ and } (i=k \text{ or } i = l) \\ \sin(\omega_{i,j}) & k=i \text{ and } l = j\\ -\sin(\omega_{i,j}) & k=j \text{ and } l = i \\ 1 & k = l \text{ and } k \neq i \text { and } k \neq j \\ 0 & \text{ otherwise } . \end{casos}$$

La rotación de un Vector

Wikipedia tiene una descripción bastante buena acerca de cómo la transposición de esta matriz toma vectores y gira en el $i-j$ plano en sentido contrario de la moda.

Deje $v \in \mathbb{R}^N$ ser algunos de vectores. Escoger el ángulo adecuado $-2\pi \le \omega_{i,j} \le 2 \pi$ cero fuera de la $j$th elemento de este vector. También el mapa de la $i$th elemento de este vector a $\sqrt{v_i^2 + v_j^2}$. En otras palabras: $$G_{i,j}^Tv = (v_1,\ldots,v_{i-1},\sqrt{v_i^2 + v_j^2},v_{i+1},\ldots,v_{j-1},0,v_{j+1},\ldots,v_n)^T.$$

Rotación de una Matriz

Pensar acerca de la rotación de nuestro ortogonal de la matriz $P = [P_1,\ldots,P_N]$ (recuerde que no hay más $t$). El índice de $i$ se corresponde con la columna de $P$ de los que estamos hablando. Set $i=1$ por un segundo. Dejando $j$ $2,\ldots,N$ hemos $$G_{1,2}^T \cdots G_{1,N}^T P_1 = (1,0,\ldots,0)^T = e_1$$ donde $e_n \in \mathbb{R}^N$ corresponde a una matriz de ceros, excepto una $1$ $n$th irregular. Esto es debido a que esta columna es de unidad de longitud.

$G_{1,2}^T \ldots G_{1,N}^T$ afectada $P_2$, pero ninguna de las otras columnas. Por el mismo razonamiento como el anterior $$G_{2,3}^T\cdots G_{2,N}^T \cdot G_{1,2}^T \cdots G_{1,N}^T P_2 = e_2.$$ También, $G_{2,3}^T\cdots G_{2,N}^T \cdot G_{1,2}^T \cdots G_{1,N}^T P_1 = e_1$ todavía, porque la rotación $(0,0)^T$ los rendimientos de la misma cosa.

Así que usted puede proceder inductivamente y obtener $$\prod_{i<j}G_{i,j}^T P = [e_1,\ldots,e_N]= I,$$ y podemos resolver esto y conseguir $$P = [\prod_{i<j}G_{i,j}^T]^{-1} = \prod_{i<j}G_{i,j},$$ lo cual es cierto siempre y cuando tengamos cuidado sobre el pedido de la $G_{i,j}$s correctamente (recordemos que $G_{i,j}^T = G_{i,j}^{-1}$).

Las Restantes Preguntas

No estoy todavía seguro de que en la interpretación individual $\omega_{i,j}$s. También, estas matrices no conmuta con el uno al otro, entonces, ¿cómo podemos elegir el "derecho" de la orden. No hay ningún punto de incentivos para la aceptación de mi propia respuesta, por lo que cualquier persona, siéntase libre de chip en aquí.