Probar que d=mcd(a,b)

Question

Dado $ a,b \in \mathbb{Z}$ tanto distinto de cero, supongamos que $d$ es un número entero positivo que es un divisor común de a$a$$b$, y es también una combinación lineal de $a$$b$. A continuación, mostrar que $d=gcd(a,b)$

Answer 1

Deje $D$ ser el real $GCD(a,b)$. Si no existe $m,n\in \mathbb Z$ tal que $$ma + nb = d$$ A continuación, el lado izquierdo es divisible por $D$, por lo que el lado derecho debe ser también. Por lo tanto, si $d$ es un divisor de a$a$$b$,$d=D$.

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Según lo sugerido por @Jean-ClaudeArbaut, también me han mencionado que $d$, que es un divisor común de a$a$$b$, divide el máximo común divisor, $D$. Por lo tanto $d \mid D$$D\mid d$.

Answer 2

Deje $ax+ by= d$ donde $d$ es positivo común divisor de a$a$$b$. También,vamos a $g=\operatorname{gcd}(a,b)$ $g|a$ $g|b$ y por lo tanto se divide $ax + by=d$. Si $d$ no es mcd llevaría a una contradicción ya que el $d<g$.