¿Por qué L ' Hospital ' trabajo de regla?

Question

¿Alguien puede decirme por qué funciona la regla de L'Hospital para evaluar los límites de la forma $\frac{0}{0}$ y $\frac{\infty}{\infty}$?

Lo que entiendo acerca de límites es que cuando se divide una cosa realmente pequeños ($\rightarrow0$) por otra cosa muy pequeña, nos dan un valor finito que no puede ser tan pequeño.

¿¿Diferenciando el numerador y el denominador nos ayuda a obtener el límite de una función?

Answer 1

Esto está lejos de ser riguroso, pero la forma en que me gusta pensar acerca de L'Hospital de la Regla es esta:

Si tengo una fracción cuyo numerador y denominador son a la vez va a decir, infinito, entonces no puedo decir mucho sobre el límite de la fracción. El límite podría ser cualquier cosa.

Es posible, sin embargo, que el numerador va lentamente hacia el infinito y el denominador va rápidamente hacia el infinito. Que sería buena información para saber, porque entonces sabría que el denominador del comportamiento es el que realmente columpios el límite de la fracción en general.

Así que, ¿cómo puedo obtener información acerca de la tasa de cambio de una función? Este es precisamente el tipo de cosa que un derivado puede decir. Por lo tanto, en lugar de comparar el numerador y el denominador directamente, puedo comparar la tasa de cambio (es decir, la derivada) del numerador de la tasa de cambio (es decir, la derivada) del denominador para determinar el límite de la fracción en general. Este es L'Hospital de la Regla.

Answer 2

La respuesta dada por el Señor Jackson Walters da una prueba de por qué funciona, pero si usted está buscando una respuesta que debe dar una intuición, ver esto :

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Considere la curva en el plano cuyas $x$-coordinar está dado por $g(t)$ y cuyas $y$-coordinar está dado por $f(t)$, es decir,$$\large t\mapsto [g(t),f(t)]. $$ Suppose $ f(c) = g(c) = 0$. The limit of the ratio $\large \frac {f(t)}{g(t)}$ as $t \mapsto c$ is the slope of tangent to the curve at the point $[0, 0]$. The tangent to the curve at the point $t$ is given by $[g'(t), f'(t)]$. l'Hôpital's rule then states that the slope of the tangent at $0$ es el límite de las pendientes de las tangentes en los puntos aproxima a cero.

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Puntos a asumir (créditos : Gracias a Hans lundmark para señalar lo que me perdí y a Srivatsan para mejorar mi formato . )

Suponga que las funciones de $f$ $g$ tiene una bien definida de la expansión de Taylor en $a$.

Prueba:

Otra manera que usted puede pensar de esto es el uso de la idea de derivados: una función $f(x)$ es diferenciable en a $x=a$ si $f(x)$ está muy cerca de su tangente la línea $y = f'(a) \cdot (x-a) + f(a)$ cerca de $x = a$. Específicamente,

$$f(x) = f(a) + f'(a) \cdot (x-a) + E_{1}(x)$$

donde $E_{1}(x)$ es un término de error que va a$0$$x$$a$. De hecho, $E_{1}(x)$ debe acercarse $0$ tan rápido que

$$\lim_{x\to a}\frac{E_1(x)}{x-a}=0$$

debido a $\dfrac{E_{{1}(x)}}{x-a} = \dfrac{ f(x)-f(a) }{x-a} - f'(a) $

y sabemos que a partir de la definición de derivada de que esta cantidad se ha el límite de $0$$a$.

Del mismo modo, si $g$ es diferenciable en a $x = a$,

$$g(x) = g(a) + g'(a) \cdot (x-a) + E_{2}(x)$$

donde $E_{2}(x)$ es otro término de error que va a$0$$x \to a$. Si usted está calcular el límite de $f(x)/g(x)$ $x \to a$ e si $g(a)$ no es igual a $0$ ,$x \to a$, el numerador se vuelve indistinguible de la $f(a)$ y el denominador de $g(a)$, por lo que el límite es

$$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(a)}{g(a)} .$$

Si tanto $f(a)$$g(a)$$0$, entonces debemos utilizar la tangente aproximaciones a decir que

$$\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f(a) + f'(a) \cdot (x-a) + E_{1}(x) }{ g(a) + g'(a) \cdot (x-a) + E_{2}(x) }$$

$$=\frac{f'(a) \cdot (x-a) + E_{1}(x)}{g'(a) \cdot (x-a) + E_{2}(x) }$$

$$ =\frac{f'(a) + [E_{1}(x)/(x-a)] }{g'(a) + [E_{2}(x)/(x-a)]}$$

y hemos visto que el segundo término se convierte en insignificante como $x\mapsto a$.

En otras palabras, cuando los dos valores de la función de enfoque de $0$$x\mapsto a$, el relación de los valores de la función, sólo se reduce a la relación de las pendientes de las tangentes, debido a que ambas funciones están muy cerca de sus tangente líneas.

Espero que te entiende. Muchas gracias. Iyengar.

Answer 3

Para el caso $\frac{0}{0}$, basta con utilizar la definición de un derivado en el cociente de la diferencia. Supongamos que $f,g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ y $f(a)=g(a)=0$, $f$ y $g$ son continuamente diferenciables y $g'(a) \ne 0$, entonces

$$\begin{eqnarray*} \lim_{x \rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)} &=& \lim_{x \rightarrow a}\frac{f(x)-0}{g(x)-0} \\ &=&\lim_{x \rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}\\ &=&\lim_{x \rightarrow a}\frac{\frac{f(x)-f(a)}{x-a}}{\frac{g(x)-g(a)}{x-a}}\\ &=&\frac{\lim_{x \rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}}{\lim_{x \rightarrow a}\frac{g(x)-g(a)}{x-a}}\\ &=&\frac{f'(a)}{g'(a)} \end{eqnarray *} $$

Answer 4

(http://csclub.uwaterloo.ca/~jy2wong/jenerated/blog/2012-10-07.lhopitals_rule.htmles interesante.

En el corazón de él, aunque, de L'Hospital de la regla parece ser un matrimonio de las ideas que funciones diferenciables son bastante maldito cerca de sus aproximaciones lineales en algún momento siempre y cuando no se alejan demasiado de ese punto y que para una función continua, un pequeño movimiento en el dominio significa un pequeño movimiento en el valor de la función.