Demostrar que $\int_{E}f =\lim \int_{E}f_{n}$

Question

Estoy haciendo ejercicio en Análisis Real de Folland, y se quedó atascado en este problema. Trato de usar Fatou lema, pero no puede llegar a la conclusión. Alguien me puede ayudar. Realmente aprecio.

Considere la posibilidad de una medida de espacio $(X, M, \mu)$.Supongamos $\{f_{n}\} \in L^{+}, f_{n} \rightarrow f$ pointwise y $\int f = \lim \int f_{n} < \infty$. A continuación, $\int_{E} f = \lim \int_{E} f_{n}$ todos los $E \in M$. Sin embargo, esto no tiene que ser cierto si $\int f = \lim \int f_{n} = \infty$

Muchas gracias.

Answer 1

Por Fatou del lema, tenemos

$$\int_E f \leq \liminf_{n \to \infty} \int_E f_n. \tag{1}$$

Del mismo modo,

$$\int_{X \backslash E} f \leq \liminf_{n \to \infty} \int_{X \backslash E} f_n. \tag{2}$$

Desde $\int f = \lim_{n \to \infty} \int f_n$, obtenemos

$$\begin{align*} \int_{E} f &= \int f - \int_{X \backslash E} f \\ &\stackrel{(2)}{\geq} \lim_{n \to \infty} \int f_n - \liminf_{n \to \infty} \int_{X \backslash E} f_n \, d\mu \\ &= \limsup_{n \to \infty} \left( \int f_n - \int_{X \backslash E} f_n \right) = \limsup_{n \to \infty} \int_E f_n. \tag{3}\end{align*}$$

La combinación de $(1)$ $(3)$ muestra

$$\int_E f \leq \liminf_{n \to \infty} \int_E f_n \leq \limsup_{n \to \infty} \int_E f_n \leq \int_E f.$$