Proyección del operador

Question

Esto puede sonar estúpido pregunta...que yo sepa en la definición de la proyección del operador(matriz) $P^2=P$$P^2-P=0$, lo que significa $P(P-I)=0$ muuuy $P=0$ o $P=I$, pero esto no siempre es cierto entonces, ¿qué está mal aquí ?

Answer 1

Usted está tratando de usar una propiedad de la multiplicación de la matriz que no es cierto. I. e. no es cierto que si $AB = 0$, entonces cualquiera de las $A$ o $B$ es igual a cero. Por ejemplo, $$\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}$$

Answer 2

La afirmación de que $P(P-\operatorname{Id}) = 0$ implica $P = 0$ o $P= \operatorname{Id}$ es falso. Tome $P = \left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 0\end{array} \right]$, por ejemplo.

En más del lenguaje abstracto, matrices de números reales forman un objeto llamado anillo, y la mayoría de los anillos de ustedes pueden haber visto tienen la propiedad de que $ab = 0$ implica $a=0$ o $b=0$, pero ese no es el caso aquí. Es decir, las matrices no son del dominio, como lo han trivial divisores de cero.

Answer 3

De hecho tener una fórmula $P(I-P)$ composición de dos proyecciones (usted puede comprobar que si $P^2=P$$(I-P)^2=I-P$ ) pero en dos distintos sub-espacios para su total efecto es exactamente el mismo como el uso de $0$ matriz.

Answer 4

Como los demás ya se dijo, no se puede concluir que $P=0$ o $P=I_n$. Pero $P(P-I_n)=0$ implica que se puede descomponer el espacio de $\mathbb{R}^n$ en la siguiente suma directa de:

$$\mathbb{R}^n = \ker(P)\oplus \ker(P-I_n)$$

Esta descomposición tiene un montón de sentido geométrico. Trate de hacer un dibujo.