Límite y continuidad

Question

Para esta pregunta, ¿debo utilizar el método de diferenciación o el de integración?

$\lim_{x\to \infty} (\frac{x}{x+2})^{x/8}$

esto es lo que tengo hasta ahora:

Nota: $\lim \limits_{n\to\infty} [1 + (a/n)]^n = e^{\underline{a}}\ldots\ldots (1)$

$$L = \lim \left[\frac{x}{x+2}\right]^{x/8} = \lim\left[\frac{1}{\frac{x+2}{x}}\right]^{x/8} =\frac{1}{\lim [1 + (2/x)]^x]^{1/8}}$$

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pero no estoy seguro de a dónde ir desde allí

Answer 1

No sé a qué te refieres con "método de diferenciación o integración" pero:

¿Sabe usted que su nota puede ser ligeramente generalizada a $\lim\limits_{x\rightarrow\infty} (1+{a\over x})^{ x} =e^a$ ? Si es así, sólo tiene que escribir $\lim\limits_{x\rightarrow\infty} \bigl((1+{2\over x})^{ x} \bigr)^{1/8}=\Bigl(\lim\limits_{x\rightarrow\infty} (1+{2\over x})^{ x} \Bigr)^{1/8}$ .

Si no es así, puedes utilizar la regla de L'Hôpital para evaluar primero $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\ln({x\over x+2})^{x/8}=\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\Bigl({x\over 8}\ln({x\over x+2}) \Bigr)$ .

Answer 2

Probablemente se pretende utilizar el hecho de que $$\lim_{t\to\infty}\left(1+\frac{1}{t}\right)^t=e.$$ Una manipulación cercana a lo que estabas haciendo nos lleva allí. Tenemos $$\left(1+\frac{2}{x}\right)^{x/8}=\left(\left(1+\frac{2}{x}\right)^{x/2}\right)^{1/4}.$$ Dejemos que $t=\frac{x}{2}$ . Entonces $\frac{2}{x}=\frac{1}{t}$ . Tenga en cuenta que como $x\to\infty$ tenemos $t\to\infty$ . De ello se desprende que $$\lim_{x\to \infty}\left(1+\frac{2}{x}\right)^{x/8}=\lim_{t\to\infty}\left(\left(1+\frac{1}{t}\right)^{t}\right)^{1/4}=e^{1/4}.$$ Así que nuestro límite es $1/e^{1/4}$ o, por el contrario $e^{-1/4}$ .

Si se le permite utilizar el hecho de que en general $\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{a}{x}\right)^x=e^a$ entonces puede simplemente tomar $a=2$ y concluir que $$\lim \left[\frac{x}{x+2}\right]^{x/8} = \lim\left[\frac{1}{\frac{x+2}{x}}\right]^{x/8} =\frac{1}{\lim [1 + (2/x)]^x]^{1/8}}=\frac{1}{(e^2)^{1/8}}=e^{-1/4}.$$