$p^3 + 2$ es primo si $p$ y $p^2 + 2$ ¿son primos?

Question

Estoy aprendiendo por mi cuenta la teoría de los números.
Quiero demostrar la siguiente afirmación:

$$p \text{ is prime } \land \text{ }p^2 + 2 \text{ is prime } \implies p^3 + 2 \text{ is prime }$$

No lo he hecho y no he encontrado ninguna prueba en Internet.
Mis primeros intentos consistieron en utilizar el Pequeño Teorema de Fermat:

$$\begin{align*} a^{p} &\equiv a \mod p \\ a^{p^2 + 2} &\equiv a \mod {p^2 + 2} \\ \end{align*}$$

Pero esa forma no me ayudó mucho. ¿Alguna pista?

Answer 1

Una pista: si $n$ no es divisible por $3$ entonces $n^2\equiv1\pmod3$ .

Por lo tanto, si $p\neq3$ , $3\mid p^2+2>3$ así que $p^2+2$ no puede ser primo. Esto significa que la implicación dice $\perp\implies p^3+2$ es primordial. De hecho, $\perp$ implica todo. Si $p=3$ La implicación parece ser cierta.