Definición de continuidad y notación big O

Question

Supongamos que una función de valor real $f$ es continua en $x_0$ . Entonces, la definición del delta épsilon dice que para cualquier $\epsilon > 0$ Hay un $\delta > 0$ tal que $|f(x_0)-f(x)| < \epsilon$ cuando $|x-x_0| < \delta$ .

A partir de esta definición, ¿cómo puedo demostrar que $f(x_0+h)-f(x_0) = O(h)$ ? Así es, $|f(x_0+h)-f(x_0)| \leq C h$ para alguna constante $C$ y todos $h$ tal que $h \leq h_0$ para algunos $h_0$ ?

$f$ no tiene que ser diferenciable, por lo que no puedo utilizar el teorema de Taylor aquí.

Answer 1

La afirmación no es cierta. Tomemos por ejemplo la función $\sqrt{x}$ en $[0,\infty)$ . Es continuo en $0$ pero $$|\sqrt{0 + h} -\sqrt{0} | = \sqrt{h},$$ que no puede ser acotado por $C\,h$ para $h\leq h_0$ para cualquier $C$ y $h_0$ .

Answer 2

• Esto es cierto si $f$ es diferenciable en $x_0$ : en este caso, usted tiene $$\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \xrightarrow[h\to0]{} f'(x_0)$$ de la cual $\lvert f(x_0+h)-f(x_0) \rvert = O(h)$ .

• Esto sigue siendo cierto si $f$ es sólo Lipschitz (en una zona de $x_0$ ): entonces, hay una constante $C\geq0$ tal que $$\lvert f(x_0+h)-f(x_0) \rvert \leq C \lvert h \rvert$$ de la cual $\lvert f(x_0+h)-f(x_0) \rvert = O(h)$ .

• Esto es falso en general: sólo la continuidad no es una suposición lo suficientemente fuerte. La respuesta de Rastapopoulos da el contraejemplo de la función $\sqrt{\cdot}$ en $x_0=0$ (y esto funcionará también con cualquier $x\mapsto x^\alpha$ para $\alpha\in(0,1)$ , por ejemplo) ; pero básicamente, todo lo que se puede decir de la continuidad es $$\lvert f(x_0+h)-f(x_0) \rvert = o(1)$$ que es una afirmación mucho más débil que $O(h)$ .