Prueba de la integral

Question

¿Existe un método analítico para demostrar que $$ \int_{-a}^a\exp\left(\frac{-1}{1-(x/a)^2}\right)\,\mathrm{d}x=ka, $$ para $a>0$ . He confirmado este resultado numéricamente para un rango de valores de $a$ . Esta investigación numérica dio $k\approx0.439938161681\pm5\times10^{-13}$ .

Esta integral surgió al intentar aproximar una función. Originalmente planeé evaluar esta integral numéricamente hasta que me encontré con la relación anterior.

Aplicando la regla de Leibniz para la diferenciación con respecto a $a$ bajo la integral no condujo a ninguna simplificación obvia.

¿Existe alguna técnica que permita confirmar esta relación? ¿O es sólo una coincidencia?

Answer 1

Si sólo busca confirmar la relación, entonces el problema no es difícil. Sin embargo, si se busca una forma cerrada, exacta, para $k$ No sé qué decirte.

Primero observe que

$$ \int_{-1}^{1} \exp\left( \frac{-1}{1 - x^2} \right) dx = k $$

está bien definido (es decir, el integrando es integrable). Ahora haz un cambio de variables, enviando $x$ a $x/a$ para conseguirlo:

$$ \int_{-a}^{a} \exp\left( \frac{-1}{1 - (x/a)^2} \right) \frac{dx}{a} = k. $$

Esta es la relación que tiene arriba (después de traer $a$ a la RHS, por supuesto). Así que esta relación no es en absoluto una coincidencia, sino que se deduce del hecho de que la integral está siendo escalada por un factor de $a$ y, por lo tanto, la respuesta se está escalando por un factor de $a$ .

Answer 2

Utilice la sustitución de parámetros para resolverlo:

$$ \text{Let }u = \frac{x}{a},\text{ then}\\ \int_{-a}^a\exp\left(\frac{-1}{1-(x/a)^2}\right)\,\mathrm{d}x=a\int_{-1}^1 \exp\left(\frac{-1}{1-u^2}\right)\mathrm{d}u\\ $$

Esto se puede resolver por otros métodos (yo probaría con la sustitución trigonométrica), aunque basta con observar que $\int_{-1}^1 \exp\left(\frac{-1}{1-u^2}\right)\mathrm{d}u$ es constante WRT $a$ . Wolfram|Alpha me da 0,443993816..., para ello, pero el ISC no parece tener ningún resultado especialmente probable, y sospecho que no es elemental.