SGA 4.5 prueba de Hilbert 90 y acción semilinear de Galois

Question

En SGA 4.5 prueba de Hilbert de los 90, la proposición 1.5.2(que la inclusión $V'^G \otimes_k k' \rightarrow V'$ es un isomorfismo) se deduce a partir fielmente plano descenso como se indica en 1.4.5. La forma en que yo interpreto el uso de 1.4.5 es que estoy buscando en una sola cubierta de $Spec\,k$, $Spec\,k'$ y el quasicoherent-gavilla $\tilde{V'}$.

Pregunta: es la manera correcta de usar? Si es así, no parece que la discusión y definición de semilinear G-acción en todo una aclaración acerca de esta condición será muy apreciada!

Answer 1

El semilinear $G$-acción en $V'$ es una manera concreta de grabación el hecho de que $\tilde{V}'$ admite descenso de datos de Especificación de $k$' a Espec $k$.

(Tenga en cuenta que $k'\otimes_k k' = \prod_{g \in G} k'$ si $k'/k$ es de Galois con grupo de $G$.)

Añadido en respuesta al comentario:

El isomorfismo $k'\otimes_k k' \cong \prod_g k'$ $k'$ álgebras es inducida por los morfismos de $k$-álgebras $$k' \to \prod_g k'$$ dada por $$a \mapsto (g(a))_{g \in G}.$$ Dando el isomorfismo $k'\otimes_k V' \to V' \otimes_k k'$ a continuación, la cantidad a dar un $k'$-lineal mapa de $V \to \prod_g V,$ donde el $k'$-acción en el $g$th es el factor de rizado por $g$.

Ahora bien, esto es lo mismo que dar una colección de morfismos $V \to V$ marcados por $g \in G$ (que se puede comprobar tendrá que ser isomorphisms, si el original de morfismos se supone que es uno) que tergiversan la $k'$-acción por el correspondiente elemento de $g$. Estos son los ingredientes para la semi-lineal. El hecho de que se forma una acción será forzado por la cocycle condición en la bajada de datos.